قانون محيط المثلث

تعريف المثلث

يُعرف المثلث على أنّه أيّ شكل هندسي مؤلّف من ثلاثة أضلاع متصلة ببعضها البعض لتُعطي شكلاً واحداً مُغلقاً،^[١] وثلاث زاويا يبلغ مجموعها الكلّي 180 درجة،^[٢] ويُعدّ المثلث أحد الأشكال الهندسية التي يكثر استخدامها في الهندسة المعمارية الحديثة، والتصميم، وكذلك في أعمال النجارة،^[١] ومن هنا فإنّ القدرة على حساب محيط المثلث ومساحته تُعدّ من الأمور التي يجب الإلمام بها، فهناك العديد من التطبيقات في الحياة اليومية والعملية ترتكز على معرفة محيط المثلث، كالحاجة إلى حساب محيط أرض زراعية على شكل مثلث لبناء سياج يُحيط بها، أو حساب محيط صندوق مثلث الشكل لتقدير طول الرباط المناسب لربط الصندوق، أو تقدير طول الشريط اللازم لصنع إطار لراية بطولة ما مثلثة الشكل.^[٣]

القانون العام لمحيط المثلث

يُعرف المحيط على أنّه مجموع أطوال جميع جوانب المضلع أو أيّ شكل آخر، ووحدة قياس المحيط هي نفس وحدة القياس المستخدمة لقياس المسافة الخطية لأحد جوانب الشكل، ولحساب قياس محيط المثلث يجب اتباع القانون الآتي:^[٤]

• محيط المثلث= أ ب ج

حيث إنّ:

• • أ= طول الضلع الأول.
  • ب= طول الضلع الثاني.
  • ج= طول الضلع الثالث.

• مثال:^[٢]

مثلث طول ضلعه الأول 203سم والثاني 208سم والثالث 145سم، جد محيطه.

الحل: بتعويض قيم الأضلاع المعطاة في قانون محيط المثلث كالآتي:

• • المحيط= أ ب ج
  • المحيط= 203 208 145= 556سم

• مثال:^[٥]

تبلغ قيمة محيط مثلث ما 40سم، وطول كلّ من ضلعيه 10سم، جد طول الضلع الثالث.

الحل: لإيجاد طول الضلع الثالث، من الممكن استخدام قانون محيط المثلث متساوي الساقين كالآتي:

• • محيط المثلث متساوي الساقين=2*أ ب
  • 40= 2*10 ب
  • ب= 40-20= 20سم.

• مثال:^[٦]

يقع منزل كلّ من بوب وتوم وفريد داخل مضلع هندسي على شكل مثلث، فإذا كان منزل توم يبعد 7 أقدام عن منزل بوب، بينما يبعد منزل بوب عن منزل فريد 9 أقدام، والمسافة بين منزل فريد وتوم هي 5 أقدام، جد محيط المثلث الذي يقع ضمنه منازل الأشخاص الثلاث.

الحل: بما أنّ محيط المثلث يُساوي مجموع أطوال أضلاعه الثلاث، فإنّ:

• المحيط = 5 7 9= 21 قدم.

قانون محيط المثلث متساوي الساقين

في حال كان المثلث متساوي الساقين، وهو المثلث الذي يحتوي على ضلعين متساويين، وزاويتين مقابلتين للضلعين متساويتين أيضاً،^[٧] فيُمكن حساب محيطه باستخدام القانون الآتي:^[٨]

• محيط المثلث متساوي الساقين= أ*2 ب

حيث إنّ:

• • أ= طول أحد الضلعين المتساويين.
  • ب= طول الضلع الثالث.

• مثال:^[٩]

مثلث متساوي الساقين، قياس قاعدته 7.6سم، وقياس الأضلع المتساوية 20سم، جد محيط الثلث.

الحل: محيط المثلث متساوي الساقين يُساوي مجموع كلا الضلعين المتساويين بالإضافة إلى طول قاعدته، أيّ أنّ:

• • المحيط= 2*أ ب
  • المحيط= 2*20 7.6=47.6سم

قانون محيط المثلث متساوي الأضلاع

في حال كان المثلث متساوي الأضلاع، وهو المثلث المكوّن من ثلاثة أضلاع متساوية في القياس،^[١٠] فيُمكن قياس محيطه من خلال القانون الآتي:^[٨]

• محيط المثلث = أ*3

حيث إنّ:

• • أ= طول أحد أضلاع المثلث.

• مثال:^[٦]

مثلث متساوي الأضلاع، طول الضلع الواحد يُساوي 18سم، جد محيطه.

الحل: لحساب محيط مثلث متساوي الأضلاع، فإنّ القانون ينص على أنّ المحيط يُساوي أحد هذه الأضلاع مضروباً في 3، أيّ أنّ:

• • المحيط = 3*أ
  • المحيط= 3*18= 54سم.

• مثال:^[٦]

تبلغ مساحة مثلث متساوي الأضلاع 10سم²، وارتفاعه يُساوي 10سم، جد محيطه.

الحل: لإيجاد مساحة مثلث فإنّ القانون المتبع هو كالآتي:

• • المساحة= 0.5* القاعدة*الارتفاع
  • 10=0.5*القاعدة*10
  • القاعدة=5/10=2

وبما أنّ المثلث متساوي الأضلاع، فإنّ المحيط= 3*أ=3*2=6سم.

قانون محيط المثلث قائم الزاوية

هناك حالة خاصة من المثلثات، وهي المثلثات قائمة الزاوية، والتي تُعرف على أنّها المثلثات التي يكون قياس أحد زواياها الثلاثة 90 درجة،^[١١] حيث يخضع المثلث قائم الزاوية لنظرية فيثاغورس والتي تنص على أنّ مربع الوتر يُساوي حاصل مجموع مربعي قاعدة المثلث وضلعها القائم، وبالتالي يُمكن حساب محيط المثلث قائم الزاوية كالآتي:^[٥]

• محيط المثلث= القاعدة القائم الوتر

وبصيغة أخرى:

• محيط المثلث= القاعدة القائم (القاعدة^2 القائم^2)^(1/2)

حيث إنّ:

• • الوتر^2= القاعدة^2 القائم^2 حسب نظرية فيثاغوروس.

• مثال:^[٥]

مثلث قائم الزاوية، طول قاعدته 3سم، وارتفاعه 4سم، جد محيطه.

الحل: لإيجاد طول وتر المثلث بحسب نظرية فيثاغورس فإنّ:

• • الوتر= (القاعدة² الارتفاع²)^(1/2)
  • الوتر= (²3 ²4)^(1/2)
  • الوتر= 5سم.

وبما أن محيط المثلث قائم الزاوية= القاعدة الارتفاع الوتر، فإنّ: المحيط= 3 4 5= 12سم.

• مثال:^[٦]

مثلث قائم الزاوية، طول الوتر فيه يُساوي 91م، وطول القائم يُساوي 35م، جد محيطه.

الحل: لإيجاد طول قاعدة المثلث فإنّه وبحسب نظرية فيثاغورس فإنّ:

• • الوتر²= القاعدة² الارتفاع²
  • القاعدة²=الوتر²-الارتفاع²
  • القاعدة =(²91-²35)^(1/2)
  • القاعدة=(7056)^(1/2)
  • القاعدة=84م.
  • المحيط= القاعدة القائم الوتر
  • المحيط= 84 35 91
  • المحيط=210م.

قانون محيط المثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين

في حال كان المثلث قائم الزاوية متساوي الساقين، فإنّه من الممكن حساب محيطه باستخدام القانون الآتي:^[١٢]

• محيط المثلث=أ (2 (2)^(1/2))

حيث إنّ:

• • أ= أحد ضلعي المثلث المتساويين.

توصّل علماء الرياضيات إلى اشتقاق القانون بدءاً من محيط المثلث العام، حيث إنّ محيط المثلث يُساوي مجموع أطوال أضلاع المثلث، وعلى فرض أنّ (أ) تُعبّر عن أحد ضلعي المثلث متساوي الساقين ذي الزاوية القائمة، فإنّه وباستخدام نظرية فيثاغورس فإنّ:^[١٢]

• الوتر^2= أ^2 أ^2

أيّ أنّ الوتر= أ* 2^(1/2) ومن هنا فإنّ:

• • المحيط = أ أ (أ* 2^(1/2))
  • المحيط=2*أ (أ* 2^(1/2))
  • المحيط=أ* (2 2^(1/2))

• مثال:^[٦]

مثلث قائم الزاوية، يبلع طول كلا الضلعين الأصغرين فيه 12سم و 5سم على التوالي، جد محيطه.

الحل: لإيجاد طول وتر المثلث بحسب نظرية فيثاغورس فإنّ:

• • الوتر= (القاعدة² الارتفاع²)^(1/2)
  • الوتر= (²5 ²12)^(1/2)
  • الوتر= 13سم

وبما أنّ محيط المثلث قائم الزاوية= القاعدة الارتفاع الوتر، فإنّ: المحيط= 5 12 13= 30سم.

قانون محيط المثلث المعلوم منه ضلعين وزاوية محصورة بينهما

قد لا تكون الأطوال الثلاث للمثلث معلومةً، ومن هنا جاءت الحاجة إلى اشتقاق معادلات أخرى في علم المثلثات تُستخدم للوصول إلى قيمة محيط المثلث بناءً على المعطيات المتاحة، فمثلاً، في حال كان ضلعا المثلث وقياس الزاوية الواقعة بينهما معروفاً، فإنّه من الممكن حساب محيط المثلث من خلال استخدام قانون جيب تمام الزاوية لإيجاد طول الضلع الثالث، ثمّ حساب محيط المثلث باستخدام قيمة الجيب تمام كالآتي:^[٣]

• محيط المثلث= أ ب (أ² ب²-2*أ*ب*جتاس)^0.5

حيث إنّ:

• • أ= طول الضلع الأول المجاور للزاوية س.
  • ب= طول الضلع الثاني المجاور للزاوية س.
  • جتاس= جيب تمام الزاوية المحصورة بين الضلعين أ و ب.

• مثال:^[١٣]

مثلث طول ضلعيه 10سم و 12سم على التوالي، وقياس الزاوية المحصورة بينهما هو °97، جد محيطه.

الحل: باستخدام قانون محيط جيب تمام الزاوية والذي ينص على أنّ:

• • محيط المثلث= أ ب (أ² ب²-2*أ*ب*جتاس)^0.5.
  • محيط المثلث= 10 12 (²10 ²12-2*10*12*جتا(97))^0.5
  • محيط المثلث=22 (100 144-(240*-0.12)^0.5
  • محيط المثلث=22 16.52
  • محيط المثلث=38.52سم

قانون محيط المثلث المعلوم منه زاويتين وضلع محصور بينهما

في حال كانت المعطيات المتاحة عبارة عن زاويتين والضلع المحصور بينهما، فمن الممكن استخدام قانون جيب الزاوية للوصول إلى محيط المثلث كالآتي:^[٣]

• محيط المثلث= أ (أ/ جا(س ص))*(جاس جاص)

حيث إنّ:

• • أ= الضلع المحصور بين الزاويتين س وص.
  • جا س= جيب الزاوية س.
  • جاص= جيب الزاوية ص.

في النهاية، فإنّ المحيط دائماً يُساوي مجموع أضلاع المثلث أيّاً كان نوعه، فالمثلث حاد الزاوية؛ وهو المثلث الذي يحتوي على زاوية داخلية قياسها أقل من 90 درجة، أو المثلث منفرج الزاوية؛ وهو المثلث الذي يحتوي على زاوية داخلية قياسها أكبر من 90 درجة، أو المثلث قائم الزاوية، فجميعها تخضع لنفس القانون المستخدم لحساب المحيط.^[١٤]

المراجع

1. ^ ^{أ ب} Deb Russell (28-9-2018), "Areas and Perimeters of Polygons"، www.thoughtco.com, Retrieved 3-12-2019. Edited.
2. ^ ^{أ ب} "Triangles", www.mathsisfun.com, Retrieved 3-12-2019. Edited.
3. ^ ^{أ ب ت} Hanna Pamuła, "Perimeter of a Triangle Calculator"، www.omnicalculator.com, Retrieved 3-12-2019. Edited.
4. ↑ Malcolm M., "How To Find The Perimeter of a Triangle"، www.tutors.com, Retrieved 3-12-2019. Edited.
5. ^ ^{أ ب ت} "Perimeter of Triangle", www.byjus.com, Retrieved 4-12-2019. Edited.
6. ^ ^{أ ب ت ث ج} "Pre-Algebra : Perimeter of a Triangle", www.varsitytutors.com, Retrieved 6-12-2019. Edited.
7. ↑ " Isosceles Triangle", www.mathsisfun.com, Retrieved 3-12-2019. Edited.
8. ^ ^{أ ب} "Area and Perimeter of a Triangle", www.superprof.co.uk, Retrieved 3-12-2019. Edited.
9. ↑ "Perimeter of Isosceles Triangle", www.geogebra.org, Retrieved 6-12-2019. Edited.
10. ↑ Niranjan Khanderia, Alexander Katz, Khang Nguyen Thanh,, "Properties of Equilateral Triangles"، www.brilliant.org, Retrieved 3-12-2019. Edited.
11. ↑ "Trigonometry and Right Triangles", www.courses.lumenlearning.com, Retrieved 4-12-2019. Edited.
12. ^ ^{أ ب} "Area Of Isosceles Triangle", www.byjus.com, Retrieved 4-12-2019. Edited.
13. ↑ "Perimeter of Triangle Formula", www.toppr.com, Retrieved 6-12-2019. Edited.
14. ↑ Bonnie Crowe (24-4-2017), "How to Find the Perimeter of a Triangle"، www.sciencing.com, Retrieved 4-12-2019. Edited.