كيفية احتساب الفائدة المركبة

تعريف الفائدة المركبة

يمكن تعريف الفائدة المركبة (بالإنجليزية: Compound Interest) بأنها الفائدة التي يتم حسابها على المبلغ الأصلي، وعلى الفوائد المتراكمة عليه طوال فترة الاقتراض أو الاستثمار،^[١] وهي تختلف عن الفائدة البسيطة (بالإنجليزية: Simple Interest) من ناحية أن الأخيرة تُحسب فقط على المبلغ الأصلي دون النظر إلى المبالغ المتراكمة عليه خلال المدة المطلوبة.^[٢]

لتوضيح ذلك نفترض أن هناك مبلغ 1000 دينار، عليه فائدة سنوية مركبة مقدارها 10%، فإن قيمة الفائدة عليه في نهاية السنة الأولى= 1000×10/100=100دينار، أما المبلغ الكلي فيصبح: المبلغ الجديد= المبلغ الأصلي قيمة الفائدة للسنة الأولى=1000 100=1100دينار، وهو المبلغ الذي سيستخدم لحساب الفائدة في نهاية السنة الثانية، وعليه فإن قيمة الفائدة في نهاية السنة الثانية= 1100×10/100=110دينار، أما المبلغ الكلي فيصبح: المبلغ الجديد= المبلغ الأصلي قيمة الفائدة للسنة الأولى قيمة الفائدة للسنة الثانية=1000 100 110=1210دينار، وهو المبلغ الذي سيستخدم لحساب الفائدة في نهاية السنة الثالثة، وعليه فإن قيمة الفائدة في نهاية السنة الثالثة= 1210×10/100=121دينار، أما المبلغ الكلي فيصبح: المبلغ الجديد= المبلغ الأصلي قيمة الفائدة للسنة الأولى قيمة الفائدة للسنة الثانية قيمة الفائدة للسنة الثالثة=1000 100 110 121=1331دينار، وهو الذي سيستخدم لحساب الفائدة في نهاية السنة الرابعة، وهكذا حتى نهاية المدة.^[٣]

لمزيد من المعلومات حول حساب الفوائد يمكنك قراءة المقال الآتي: كيف تحسب فائدة البنك.

قانون الفائدة المركبة

يمكن حساب الفائدة المركبة من خلال القانون العام الآتي:^[٤]

• م=ب×(1 ف/ت)^ن×ت، حيث إن:
  • ب: المبلغ الأصلي الذي تم اقتراضه، أو استثماره.
  • م: المبلغ بعد إضافة الفائدة المركبة إليه بعد مرور مدة القرض، أو الاستثمار.
  • ف: نسبة الفائدة المركبة السنوية، ويجب كتابتها على شكل عدد عشري.
  • ت: عدد مرات تحصيل الفائدة في السنة الواحدة.
  • ن: مدة القرض، أو الاستثمار بالسنوات.

أمثلة على حساب الفائدة المركبة

• المثال الأول: إذا تم إيداع مبلغ 1500$ في حساب بمعدل فائدة مركبة 4.3% تُحصّل كلّ ثلاثة أشهر، احسب القيمة المستقبلية لهذا المبلغ بعد مرور ست سنوات.^[٥]
  • الحل:
  • من المثال أعلاه: المبلغ الأصلي الذي تم استثماره (ب)=1500، نسبة الفائدة المركبة (ف)=0.043 بعد كتابتها كرقم عشري، عدد مرات تحصيل الفائدة في السنة الواحدة (ت)=4؛ لأنّ الفائدة تحصل كل ثلاثة أشهر، مدة الاستثمار بالسنوات (ن)=6.
  • تعويض القيم السابقة في المعادلة، م=ب×(1 ف/ت)^ن×ت=1500×(1 0.043/4)^6×4= 1500×(1.01075)²⁴=1126.83$، وبعد التقريب لأقرب دولار فإن المبلغ المستقبلي= 1938$.

• المثال الثاني: إذا تم إيداع مبلغ 1000$ في حساب بمعدل فائدة مركبة 4% تحصل كلّ ثلاثة أشهر، احسب القيمة المستقبلية لهذا المبلغ بعد مرور ثلاث سنوات مع التقريب لأقرب دولار.^[٤]
  • الحل:
  • من المثال أعلاه: المبلغ الأصلي الذي تم استثماره (ب)=1000، نسبة الفائدة المركبة (ف)=0.04 بعد كتابتها كرقم عشري، عدد مرات تحصيل الفائدة في السنة الواحدة (ت)=4؛ لأنّ الفائدة تحصل كل ثلاثة أشهر، مدة الاستثمار بالسنوات (ن)=3.
  • تعويض القيم السابقة في المعادلة، م=ب×(1 ف/ت)^ن×ت=1000×(1 0.04/4)^4×3= 1000×(1.01)¹²=1126.83$، وبعد التقريب لأقرب دولار فإن المبلغ المستقبلي= 1127$.

• المثال الثالث: إذا تم إيداع مبلغ 20,000$ في حساب بمعدل فائدة مركبة سنوي 8.5% تُحصّل كلّ شهر، احسب القيمة المستقبلية لهذا المبلغ بعد مرور أربع سنوات.^[٦]
  • الحل:
  • من المثال أعلاه: المبلغ الأصلي الذي تم استثماره (ب)=20,000$، نسبة الفائدة المركبة (ف)=0.085 بعد كتابتها كرقم عشري، عدد مرات تحصيل الفائدة في السنة الواحدة (ت)=12؛ لأنّ الفائدة تحصل كل شهر، مدة الاستثمار بالسنوات (ن)=4.
  • تعويض القيم السابقة في المعادلة، م=ب×(1 ف/ت)^ن×ت=20000×(1 0.085/12)^12×4= 20,000×(1.0071)⁴⁸= 28,065.3 دولار.

• المثال الرابع: إذا اقترضت أحلام مبلغ 10,000 دولار من إحدى المؤسسات المالية، وكانت مدة السداد سنتين، ونسبة الفائدة المركبة السنوية 10% تُحصّل مرة واحدة في العام، جد قيمة المبلغ الذي يجب عليها سداده.^[٢]
  • الحل:
  • من المثال أعلاه: المبلغ الأصلي الذي تم اقتراضه (ب)=10,000$، نسبة الفائدة المركبة (ف)=0.10 بعد كتابتها كرقم عشري، عدد مرات تحصيل الفائدة في السنة الواحدة (ت)=1؛ لأنّ الفائدة تحصل مرة سنوياً، مدة القرض بالسنوات (ن)=2.
  • تعويض القيم السابقة في المعادلة، م=ب×(1 ف/ت)^ن×ت=10000×(1 0.10/1)^1×2= 20,000×(1.05)²=12,100 دولار.

• المثال الخامس: إذا تم إيداع مبلغ 2,000$ في حساب بمعدل فائدة مركبة سنوي 5% تُحصّل كلّ شهر، احسب القيمة المستقبلية لهذا المبلغ بعد مرور سنتين.^[٧]
  • الحل:
  • من المثال أعلاه: المبلغ الأصلي الذي تم استثماره (ب)=2,000، نسبة الفائدة المركبة (ف)=0.05 بعد كتابتها كرقم عشري، عدد مرات تحصيل الفائدة في السنة الواحدة (ت)=12؛ لأنّ الفائدة تحصل كل شهر، مدة الاستثمار بالسنوات (ن)=2.
  • تعويض القيم السابقة في المعادلة، م=ب×(1 ف/ت)^ن×ت=2000×(1 0.05/12)^12×2= 2,000×(1.0042)²⁴= 2,209 دولار.

• المثال السادس: تقدم إحدى المؤسسات خطة استثمارية للمبالغ المالية تقوم على استثمار مبلغ من المال للاستفادة منه فيما بعد لتعليم أحد الأقارب في الجامعة، فإذا أرادت حنان استثمار مبلغ من المال لتبلغ قيمته 40,000$ بعد مرور مدة 18 سنة للاستفادة منه في تعليم حفيدتها الجامعي مستقبلاً، فإذا كانت نسبة الفائدة المركبة عليه 6%، وهي تُحصّل كل ستة أشهر، جد قيمة المبلغ الذي يجب على حنان استثماره حالياً للوصول إلى المبلغ المطلوب مستقبلاً.^[١]
  • الحل:
  • من المثال أعلاه: المبلغ الأصلي الذي يجب اقتراضه (ب)=ب، نسبة الفائدة المركبة (ف)=0.06 بعد كتابتها كرقم عشري، عدد مرات تحصيل الفائدة في السنة الواحدة (ت)=2؛ لأنّ الفائدة تحصل كل ستة أشهر، مدة الاستثمار بالسنوات (ن)=18سنة.
  • تعويض القيم السابقة في المعادلة، م=ب×(1 ف/ت)^ن×ت، 40000=ب×(1 0.06/2)^18×2= ب×(1.03)³⁶، ومنه فإن المبلغ الذي يجب على حنان استثماره=13,801$ تقريباً؛ أي عليها إيداع هذا المبلغ حالياً في المؤسسة المالية لاستثمار، لتبلغ قيمته 40,000$ بعد مرور 18 سنة.

• المثال السابع:إذا أراد أحمد مضاعفة مبلغ 1,000$ كان بحوزته خلال مدة خمس سنوات، جد نسبة الفائدة المركبة السنوية التي يحتاجها أحمد لتحقيق ما يريد.^[٣]
  • الحل:
  • من المثال أعلاه: المبلغ الأصلي الذي بحوزة أحمد حالياً (ب)=1,000$، نسبة الفائدة المركبة (ف)=ف، عدد مرات تحصيل الفائدة في السنة الواحدة (ت)=1؛ لأنّ الفائدة تحصل مرة سنوياً، مدة الاستثمار بالسنوات (ن)=5سنة، م=2000$، وهو ضعف المبلغ الأصلي.
  • تعويض القيم السابقة في المعادلة، م=ب×(1 ف/ت)^ن×ت=2000=1000×(1 1/ف)^1×5، ومنه فإن نسبة الفائدة التي يحتاجها أحمد (ف)= 14.87% تقريباً.

• المثال الثامن:إذا أرادت سعاد زيادة مبلغ 1,000$ كان بحوزتها إلى مبلغ 10,000$ بنسبة فائدة المركبة سنوية قدرها 5%، احسب المدة التي تحتاجها سعاد لتحقيق ما تريد.^[٣]
  • الحل:
  • من المثال أعلاه: المبلغ الأصلي الذي بحوزة سعاد حالياً (ب)=1,000$، نسبة الفائدة المركبة (ف)=0.05، عدد مرات تحصيل الفائدة في السنة الواحدة (ت)=1؛ لأنّ الفائدة تحصل مرة سنوياً، مدة الاستثمار بالسنوات (ن)=ن سنة، م=10,000$.
  • تعويض القيم السابقة في المعادلة، م=ب×(1 0.05/1)^1×ت=10000=1000×(1 0.05/1)^1×ن، ومنه فإن ن= لو(10)/لو(1.05)، ومنه المدة الزمنية اللازمة لتحقيق ذلك (ن)= 47.19 سنة.

• المثال التاسع: إذا اقترضت نور مبلغ 2000 دولار من إحدى المؤسسات المالية، وكانت مدة السداد سنة ونصف، ونسبة الفائدة المركبة السنوية 10% تحصل مرتين في العام، جد قيمة المبلغ الذي يجب عليها سداده.^[٢]
  • الحل:
  • من المثال أعلاه: المبلغ الأصلي الذي تم اقتراضه (ب)=2,000$، نسبة الفائدة المركبة (ف)=0.10 بعد كتابتها كرقم عشري، عدد مرات تحصيل الفائدة في السنة الواحدة (ت)=2؛ لأنّ الفائدة تحصل مرتين سنوياً، مدة القرض بالسنوات (ن)=1.5.
  • تعويض القيم السابقة في المعادلة، م=ب×(1 ف/ت)^ن×ت=2000×(1 0.10/2)^1.5×2= 2,000×(1.05)³=2,315.25 دولار.

المراجع

1. ^ ^{أ ب} "Use compound interest formulas", courses.lumenlearning.com, Retrieved 16-2-2020. Edited.
2. ^ ^{أ ب ت} "Compound Interest", byjus.com, Retrieved 17-2-2020. Edited.
3. ^ ^{أ ب ت} "Compound Interest", www.mathsisfun.com, Retrieved 17-2-2020. Edited.
4. ^ ^{أ ب} Jeff Calareso، "Compounding Interest Formulas: Calculations & Examples"، www.study.com، Retrieved 4-11-2017. Edited.
5. ↑ "Compound Interest Formula", qrc.depaul.edu, Retrieved 16-2-2020. Edited.
6. ↑ "Mathematics of Money: Compound Interest Analysis With Applications", home.ubalt.edu, Retrieved 16-2-2020. Edited.
7. ↑ "Compound interest", moneysmart.gov.au, Retrieved 17-2-2020. Edited.