قانون حساب حجم المخروط

نظرة عامة حول حجم المخروط

يُعرف المخروط (بالإنجليزية: Cone) بأنه مجسّم يحتوي على قاعدة واحدة فقط مسطحة ودائرية الشكل، وله نقطة مدبّبة تقع أعلاها تُسمّى برأس المخروط،^[١] أما بالنسبة لحجم المخروط (بالإنجليزية:Cone Volume) فهو يُعرف بأنه مقدار الحيز الذي يشغله الجسم ثلاثي الأبعاد، أو مقدار سعته، ويُقاس بالعديد من الوحدات المكعبة؛ مثل: إنش³، قدم³، سم³، م³، ويُعطى بالعلاقة الآتية:^[٢]

• حجم المخروط= 1/3×مساحة القاعدة×الارتفاع، وبالرموز: حجم المخروط = 1/3×(π×نق²)×ع؛ وذلك لأن مساحة القاعدة = π×نق²؛ حيث:
  • نق: نصف قطر القاعدة.
  • ع: ارتفاع المخروط.
  • π: ثابت عددي، وقيمته 3.14، 22/7.

ملاحظة: العلاقة بين حجم المخروط والأسطوانة تشبه العلاقة بين حجم الهرم والمنشور؛ فإذا كان ارتفاع المخروط والأسطوانة متساويين فإن حجم الأسطوانة يساوي ثلاثة أضعاف حجم المخروط.^[٢]

لمزيد من المعلومات حول المخروط يمكنك قراءة المقال الآتي: تعريف المخروط.

قانون حجم المخروط المقطوع والمائل

المخروط المقطوع هو المخروط الذي قُطِع جزء من أعلاه، ويكون هذا القطع عمودياً على الارتفاع، وموزاياً للقاعدة، ويمكن حساب حجم المخروط المقطوع من خلال طرح حجم الجزء المقطوع من المخروط الكبير الذي يحتوي على القاعدة، أو من خلال الصيغة الآتية:^[٣]

• حجم المخروط المقطوع= 1/3×π×ع×((نق*)² (نق*×نق) (نق)²)، حيث:
• نق: نصف قطر القاعدة السفلية للمخروط الناقص.
• نق*: نصف قطر القاعدة العلوية للمخروط المقطوع.
• ع: ارتفاع المخروط المقطوع.

أما المخروط المائل وهو الذي لا تقع قمته على استقامة واحدة مع مركز القاعدة، فيتم حساب حجمه بنفس الطريقة التي يتم من خلالها حساب حجم المخروط القائم.^[٣]

أمثلة على حساب حجم المخروط

• المثال الأول: ما هو حجم المخروط الذي ارتفاعه 18سم، ونصف قطره 8سم؟^[٢]
  • الحل:
  • نصف قطر المخروط يساوي 8، وارتفاعه يساوي 18، وبتعويض القيم في قانون حجم المخروط ، وهو: حجم المخروط= 1/3×مساحة القاعدة×الارتفاع، ينتج أن:
  • حجم المخروط= 1/3×3.14×8²×18=1,205.76‬سم³.

• المثال الثاني: مخروط نصف قطره 12سم، وارتفاعه 14سم، فما هو حجمه؟^[٤]
  • الحل:
  • نصف قطر المخروط يساوي 12، وارتفاعه يساوي 14، وبتعويض القيم في قانون حجم المخروط ، وهو: حجم المخروط= 1/3×مساحة القاعدة×الارتفاع، ينتج أن:
  • حجم المخروط= 1/3×3.14×12²×14=2,111‬سم³.

• المثال الثالث: احسب حجم المخروط المقطوع الذي يبلغ طول نصفي قاعدتيه 6سم، 2سم، وارتفاعه 10سم.^[٥]
  • الحل:
  • باستخدام القانون: حجم المخروط المقطوع= 1/3×π×ع×((نق*)² (نق*×نق) (نق)²)، وتعويض القيم فيه ينتج أن: حجم المخروط المقطوع= 1/3×3.14×10×((2)² (2×6) (6)²)=544.54سم³.

• المثال الرابع: مخروط قطره 15سم، وارتفاعه 16سم، فما هو حجمه؟^[٦]
  • الحل:
  • قطر المخروط يساوي 15سم، وبالتالي فإن نصف قطره هو: 15/2=7.5سم، وارتفاعه يساوي 16، وبتعويض القيم في قانون حجم المخروط ، وهو: حجم المخروط= 1/3×مساحة القاعدة×الارتفاع، ينتج أن:
  • حجم المخروط= 1/3×3.14×7.5²×16= ‬942سم³.

• المثال الخامس: مخروط نصف قطره 24سم، وارتفاعه الجانبي 25سم فما هو حجمه؟^[٧]
  • الحل:
  • حساب ارتفاع المخروط من ارتفاعه الجانبي، وذلك باستخدام القانون الآتي: الارتفاع الجانبي= (مربع الارتفاع مربع نصف القطر)√؛ حيث: الارتفاع=(25²-² 24)√= 7سم.
  • وبتعويض القيم في قانون حجم المخروط ، وهو: حجم المخروط= 1/3×مساحة القاعدة×الارتفاع، ينتج أن:
  • حجم المخروط= 1/3×3.14×24²×7= 4,220.16‬سم³.

• المثال السادس: إذا كان معدل سقوط الرمل من المخروط العلوي إلى المخروط السفلي في ساعة رملية مكوّنة من مخروطين يتلاقى رأسيهما في نفس النقطة هو 50مم³/ثانية، وكان ارتفاع الرمل في المخروط العلوي 24مم، أما نصف قطره فهو 10مم، جد المدة اللازمة لانتقال كامل الرمل من المخروط العلوي نحو السفلي.^[٧]
  • الحل:
  • تعويض القيم في قانون حجم المخروط لحساب حجم الرمل في المخروط العلوي، وهو: حجم المخروط= 1/3×مساحة القاعدة×الارتفاع، لينتج أن: حجم الرمل في المخروط العلوي= 1/3×3.14×10²×24= 2,512مم³.
  • حساب المدة الزمينة اللازمة لانتقال الرمل من المخروط العلوي إلى السفلي عن طريق قسمة حجم الرمل على معدل سقوطه؛ لينتج أن: المدة الزمينة اللازمة لانتقال الرمل بالكامل= 2,512/50=50.24 ثانية.

• المثال السابع: مخروط مائل قطره 12م، وارتفاعه 15م فما هو حجمه؟^[٨]
  • الحل:
  • قطر المخروط يساوي 12م، وبالتالي فإن نصف قطره هو: 12/2=6م، وارتفاعه يساوي 15م، وبتعويض القيم في قانون حجم المخروط ، وهو: حجم المخروط= 1/3×مساحة القاعدة×الارتفاع، ينتج أن:
  • حجم المخروط= 1/3×3.14×6²×15= ‬565.2م³.

• المثال الثامن: إذا كان حجم المخروط هو 169سم³، ونصف قطره 4سم، جد ارتفاعه.^[٩]
  • الحل:
  • بتعويض القيم في قانون حجم المخروط ، وهو: حجم المخروط= 1/3×مساحة القاعدة×الارتفاع، ينتج أن:
  • 169= 1/3×3.14×4²×الارتفاع، ومنه الارتفاع= 10.1سم.

• المثال التاسع: إذا كان محيط قاعدة خيمة على شكل مخروط هو 44م، احسب كمية الهواء الموجودة داخلها علماً أن ارتفاعها هو 9م.^[٩]
  • الحل:
  • كمية الهواء الموجودة داخل الخيمة تساوي حجم الخيمة مخروطية الشكل، لذلك يجب حساب حجم الخيمة بتعويض القيم في قانون حجم المخروط ، إلا أنه يجب أولاً حساب نصف قطر القاعدة الدائرية عن طريق استخدام قانون محيط الدائرة، وهو: محيط الدائرة=2×π×نق، ومنه: 44=2×3.14×نق، وعليه: نق=7م، وهو نصف قطر الخيمة.
  • تعويض القيم في قانون حجم المخروط=1/3×مساحة القاعدة×الارتفاع، لينتج أن: حجم الخيمة=1/3×3.14ײ7×9=462م³، وهو كمية الهواء الموجودة بداخلها.

• المثال العاشر: إذا كان حجم المخروط يساوي 9π وحدة مكعبة، وقيمة ارتفاعه تساوي قيمة نصف قطره، جد قيمة نصف قطره.^[١٠]
  • الحل: نفترض أن قيمة نصف القطر=س، وهي تساوي الارتفاع، وفق معطيات السؤال، وبتعويض القيم في قانون حجم المخروط ينتج أن: حجم المخروط=1/3×مساحة القاعدة×الارتفاع، ومنه: 1/3×π×س²×س=9π، وبتبسيط المعادلة، ثم أخذ الجذر التكعيبي للطرفين، ينتج أن: س=3 وحدات، وهي قيمة كل من الارتفاع، ونصف القطر.

• المثال الحادي عشر: إذا كان ارتفاع مخروط كبير الحجم 18م، ونصف قطره 4م، ويمكن ملؤه بالماء بمعدل يبلغ 3م³ كل 25 ثانية، احسب المدة اللازمة حتى يمتلئ المخروط بالكامل.^[١٠]
  • الحل: حساب حجم المخروط لمعرفة سعته من الماء باستخدام القانون: حجم المخروط=1/3×مساحة القاعدة×الارتفاع، ومنه: حجم المخروط=1/3×3.14×4²×18=301.44م³.
  • حساب المدة اللازمة حتى يمتلئ المخروط=حجم المخروط/معدل امتلائه بالماء=301.44م³÷(3م³/ 25ثانية)=2512 ثانية=41 دقيقة و53 ثانية

لمزيد من المعلومات حول مساحة المخروط يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون مساحة المخروط.

المراجع

1. ↑ "Cone", www.mathsisfun.com, Retrieved 2-1-2018. Edited.
2. ^ ^{أ ب ت} "Volume of a Cone", www.varsitytutors.com, Retrieved 12-5-2019. Edited.
3. ^ ^{أ ب} "Oblique cone volume", www.omnicalculator.com, Retrieved 12-5-2019. Edited.
4. ↑ "Volume of a cone", www.mathopenref.com, Retrieved 12-5-2019. Edited.
5. ↑ "Truncated Cone", www.superprof.co.uk, Retrieved 2-4-2020. Edited.
6. ↑ "FINDING THE VOLUME OF A CONE", www.onlinemath4all.com, Retrieved 2-4-2020. Edited.
7. ^ ^{أ ب} Khang Nguyen Thanh, Mark C, Pi Han Goh, and 2 others contributed, "Volume of a Cone"، brilliant.org, Retrieved 2-4-2020. Edited.
8. ↑ "Volume of a cone", www.basic-mathematics.com, Retrieved 2-4-2020. Edited.
9. ^ ^{أ ب} "Volume of a Cone", www.web-formulas.com, Retrieved 2-4-2020. Edited.
10. ^ ^{أ ب} "How to find the volume of a cone", www.varsitytutors.com, Retrieved 2-4-2020. Edited.