قانون مساحة القطاع الدائري

نظرة عامة حول القطاع الدائري

يمكن تعريف القطاع الدائري (بالإنجليزية: Sector) بأنه قسمٌ من الدائرة محدودٌ بنصفي قطر وقوس، وتسمّى الزاوية المحصورة بين نصفي القطر بزاوية القطاع أو الزاوية المركزية، والقطاع الدائري الذي زاويته 180 درجة هو عبارة عن نصف الدائرة (بالإنجليزية: Semicircle)، والقطاع الذي زاويته 90 درجةٍ ما هو إلا ربع دائرةٍ (بالإنجليزية: Quadrant).^[١][٢]

لمزيد من المعلومات حول الدائرة يمكنك قراءة المقال الآتي: بحث عن الدائرة ومحيطها.
لمزيد من المعلومات حول خصائص الدائرة يمكنك قراءة المقال الآتي: خصائص الدائرة.

مساحة القطاع الدائري

يتم التعبير عادة عن مساحة الدائرة كاملة بالقانون: π×نق²، وعندما يتطلب الأمر حساب مساحة جزء من الدائرة فإن ذلك يتم من خلال زاوية القطاع الدائري، ولأن قياس زوايا الدائرة كاملة يساوي 360 درجة، فإن نسبة زاوية القطاع الدائري إلى 360 درجة تتناسب مع مساحة الجزء من الدائرة المراد قياس مساحته،^[٣] وبشكل عام تعتمد مساحة القطاع الدائري في أي دائرةٍ على الزاوية المركزيّة لهذا القطاع؛ فكلما زادت الزاوية المركزية له زادت زادت مساحة القطاع، وكلما نقصت قلت مساحته، كما تتناسب طردياً مع طول قوس القطاع،^[٤] ورياضيّاً يمكن حسابها باستخدام أحد القوانين الآتية:^[٥]

• عند معرفة مساحة الدائرة وزاوية القطاع بالدرجات: مساحة القطاع الدائري=مساحة الدائرة كاملة×(زاوية القطاع/360)= (π×مربع نصف القطر)× (زاوية القطاع/360)، وبالرموز: مساحة القطاع الدائري= π×نق²×(هـ/360)؛ حيث:
  • π: الثابت باي، وتعادل قيمته 3.14.
  • نق: نصف قطر الدائرة.
  • هـ:قياس الزاوية المركزية أو زاوية القطاع بالدرجات.
• عند معرفة نصف قطر الدائرة وزاوية القطاع بالراديان: مساحة القطاع الدائري=0.5×زاوية القطاع× مربع نصف القطر، وبالرموز: مساحة القطاع الدائري= 0.5×نق²×هـ؛ حيث:^[٤]
  • نق: نصف قطر الدائرة.
  • هـ:قياس الزاوية المركزية أو زاوية القطاع بالراديان.

*عند معرفة طول قوس القطاع: مساحة القطاع الدائري= (نصف القطر×طول قوس القطاع)/2.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول قوس الدائرة يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون طول قوس الدائرة.
لمزيد من المعلومات حول قطر الدائرة يمكنك قراءة المقالات الآتية: كيفية حساب قطر الدائرة، ما هو قانون نصف قطر الدائرة.

أمثلة متنوعة حول مساحة القطاع الدائري

• المثال الأول: دائرةٌ طول نصف قطرها يساوي 5 سم، وفيها قطاعٌ دائريٌ زاويته المركزية تساوي 60 درجة، فما هي مساحة هذا القطاع.^[٤]
  • الحل: باستخدام القانون مساحة القطاع الدائري= π×نق²×(هـ/360)=5²×3.14×(60/360)=13.09سم².

• المثال الثاني: إذا كانت مساحة القطاع الدائري 35.4سم²، جد زاوية هذا القطاع إذا كان نصف قطر الدائرة 6سم.^[٤]
  • الحل: باستخدام القانون مساحة القطاع الدائري= π×نق²×(هـ/360)، ينتج أن: 35.4=6²×3.14×(هـ/360)، ومنه هـ=112.67درجة.

• المثال الثالث: دائرةٌ طول نصف قطرها يساوي 5 سم، وفيها قطاعٌ دائريٌ زاويته المركزية تساوي 3راديان، فما هي مساحة هذا القطاع.^[٦]
  • الحل: باستخدام القانون مساحة القطاع الدائري= 0.5×زاوية القطاع× مربع نصف القطر=0.5×3×5²=37.5سم².

• المثال الرابع: دائرةٌ طول نصف قطرها يساوي 42سم، وفيها قطاعٌ دائريٌ زاويته المركزية تساوي 120 درجة، فما هي مساحة هذا القطاع.^[٦]
  • الحل: باستخدام القانون مساحة القطاع الدائري=π×نق²×(هـ/360)=42²×3.14×(120/360)=1848سم².

• المثال الخامس:إذا كان نصف قطر القطاع الدائري 3م، وطول القوس المقابل له 5πسم علماً أن زاويته مقاسة بالراديان، جد مساحة هذا القطاع الدائري.^[٧]
  • الحل:
  • باستخدام قانون طول القوس=نق×θ، ينتج أن 3θ=5π، ومنه θ=5π/3راديان
  • باستخدام القانون مساحة القطاع الدائري= 0.5×زاوية القطاع× مربع نصف القطر=3²×0.5×5π/3، ومنه مساحة القطاع الدائري=23.55سم².

• المثال السادس: إذا كانت مساحة قطاع دائري 108سم²، وطول القوس المقابل له 12سم، جد قطر هذه الدائرة.^[٧]
  • الحل:
  • باستخدام قانون طول القوس=نق×θ، ينتج أن: 12=نق×θ.
  • باستخدام قانون مساحة القطاع الدائري= 0.5×زاوية القطاع× مربع نصف القطر، ينتج أن: 108=0.5×θ×نق².
  • بتعويض قيمة المعادلة الأولى من المعادلة الثانية ينتج أن: 108=0.5×(θ×نق)×نق=0.5×12×نق، ومنه نق=18سم، وهي قيمة نصف القطر، أما قيمة القطر (ق) فتساوي 2نق=2×18=36سم.
  • يمكن حل هذا المثال بطريقة أخرى تتمثل باستخدام القانون: مساحة القطاع الدائري= (نصف القطر×طول قوس القطاع)/2، ومنه 108=(نق×12)/2، ومنه نق=6سم، أما طول القطر فيساوي ق=2نق=2×18=36م.

• المثال السابع:إذا كانت العلبة المخصّصة لحفظ البيتزا مربعة الشكل، وكانت مساحتها 256سم²، وأبعادها تزيد بمقدار 4سم عن قطر البيتزا كاملة والمقسّمة إلى ثماني قطع، جد مساحة القطعة الواحدة من البيتزا.^[٨]
  • الحل:
  • حساب قطر البيتزا عن طريق حساب طول ضلع العلبة مربعة الشكل أولاً، ثم طرح العدد 4 منه، وحيث إن طول ضلع العلبة²=مساحة العلبة وفق قانون مساحة المربع، فإن 256= ضلع العلبة²، وعليه ضلع العلبة=16سم، أما قطر البيتزا فيساوي=16-4=12سم، ونصف قطرها=12/2=6سم.
  • حساب مساحة البيتزا كاملة باستخدام قانون مساحة الدائرة=πنق²=3.14×6²=113.04سم².
  • قسمة مساحة البيتزا كاملة على 8 لينتج أن مساحة القطعة الواحدة والتي تمثّل قطاعاً دائرياً فيها=113.04/8=14.13سم².

• المثال الثامن: إذا كانت هناك كعكة دائرية الشكل طول قطرها 30سم، تم تقطيعها إلى ستة أقسام متساوية، جد مساحة كل قطعة من الكعك إذا كانت الزاوية المركزية لكل منها 60 درجة.^[٩]
  • الحل: باستخدام القانون مساحة القطاع الدائري= π×نق²×(هـ/360)=3.14×15²×(60/360)=117.8سم²، وهي مساحة كل قطعة من قطع الكعك الستة.

• المثال التاسع: جد مساحة القطاع الدائري الذي يبلغ طول قوسه 30سم، ونصف قطره 10سم.^[١٠]
  • الحل:
  • مساحة القطاع الدائري= (نصف القطر×طول قوس القطاع)/2، ينتج أن مساحة القطاع الدائري= (10×30)/2=150سم².

• المثال العاشر:إذا كان قياس زاوية القطاع 40 درجة، ومساحته 20سم²، جد طول القوس المقابل له.^[١١]
  • الحل:
  • باستخدام قانون مساحة القطاع الدائري= π×نق²×(هـ/360)، ينتج أن: 20=3.14×نق²×(40/360)، ومنه نق=7.6سم.
  • باستخدام قانون مساحة القطاع الدائري=(نصف القطر×طول قوس القطاع)/2، ينتج أن: 20=(7.6×طول قوس القطاع)/2، ومنه طول قوس القطاع=5.3سم.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول مساحة الدائرة يمكنك قراءة المقالات الآتية: كيف أحسب مساحة الدائرة، قانون مساحة نصف الدائرة.
لمزيد من المعلومات والأمثلة حول محيط ومساحة الدائرة يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون محيط الدائرة ومساحتها.

المراجع

1. ↑ Kelsey Hennen, "Area and Circumference of Sectors of Circles"، www.sophia.org, Retrieved 14-7-2018. Edited.
2. ↑ "Circle Sector and Segment", www.mathsisfun.com, Retrieved 14-7-2018. Edited.
3. ↑ "Finding the Area of a Sector: Formula & Practice Problems", study.com, Retrieved 15-3-2020. Edited.
4. ^ ^{أ ب ت ث} "Area Of A Sector and Segment", www.onlinemathlearning.com, Retrieved 14-7-2018. Edited.
5. ↑ "Sector area", www.mathopenref.com, Retrieved 14-7-2018. Edited.
6. ^ ^{أ ب} "Circle Sector and Segment ", www.mathopolis.com, Retrieved 15-3-2020. Edited.
7. ^ ^{أ ب} "Sectors, Areas, and Arcs", www.purplemath.com, Retrieved 15-3-2020. Edited.
8. ↑ "How to find the area of a sector", www.varsitytutors.com, Retrieved 15-3-2020. Edited.
9. ↑ "Area of a Sector of a Circle", tutors.com, Retrieved 15-3-2020. Edited.
10. ↑ "Area of Sectors and Segments", mathbitsnotebook.com, Retrieved 16-3-2020. Edited.
11. ↑ "Sectors and Circles Problems", www.analyzemath.com, Retrieved 16-3-2020. Edited.