ما هو قانون جيب التمام

نظرة عامة حول قانون جيب التمام

يصف قانون جيب التمام العلاقة بين أطوال أضلاع المثلث وجيب تمام زواياه، ويمكن تطبيقه على كافة أنواع المثلثات، حيث يُمكن باستخدام قانون جيب التمام حل العديد من المسائل التي تتعلق بالمثلثات، مثل حساب طول أحد أضلاع المثلث عند معرفة طول ضلعيه الآخرين والزاوية المحصورة بينهما، إضافة إلى معرفة قياس زوايا المثلث عند معرفة جميع أطوال أضلاعه.^[١][٢]

لمزيد من المعلومات حول قانون الجيب يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون الجيب في الرياضيات.

أشكال قانون جيب التمام

هناك عدة أشكال لقانون جيب التمام، وهي:^[١]

• أ²= ب² جـ² -(2×ب×جـ×جتا أَ)، حيث إن: (أَ) هي الزاوية المحصورة بين الضلعين (جـ) و(ب)، والمقابلة للضلع أ.
• ب²= أ² جـ² - (2×أ×جـ×جتا بَ)، حيث إن: (بَ) هي الزاوية المحصورة بين الضلعين (أ) و(جـ)، والمقابلة للضلع ب.
• جـ²= أ² ب² - (2 ×أ×ب×جتا جـَ)، حيث إن: (جـَ) هي الزاوية المحصورة بين الضلعين (أ) و(ب)، والمقابلة للضلع جـ؛ حيث:
  • أ، ب، جـ: أطوال أضلاع المثلث.
  • أَ، بَ، جـَ: زوايا المثلث المقابلة لهذه الأضلاع.

إذا كان قياس الزاوية المحصورة بين الضلعين (أ) و(ب) تساوي 90°، فإنّ جيب التمام للزاوية 90° يساوي صفراً، وهذه حالة خاصة، حيث ينتج من قانون جيب التمام قانون فيثاغورس الخاص بالمثلث قائم الزاوية، وذلك كما يأتي:^[١]

• جـ²= أ² ب²-(2×أ×ب×جتا 90)، ومنه: جـ² = أ² ب².

لمزيد من المعلومات حول قانون فيثاغورس يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون نظرية فيثاغورس.

يمكن كذلك كتابة قانون جيب التمام بصورة أخرى لتسهيل عملية حساب قياس إحدى الزوايا عند معرفة أطوال الأضلاع الأخرى للمثلث، وذلك كما يأتي:^[٢]

• جتا (أَ) = (جـ² ب²-أ²)/ (2×ب×جـ) ؛ حيث إن: (أَ) هي الزاوية المحصورة بين الضلعين (ب) و(جـ)، والمقابلة للضلع أ.
• جتا (بَ) = (أ² جـ²-ب²)/ (2×أ×جـ)؛ حيث إن: (بَ) هي الزاوية المحصورة بين الضلعين (أ) و(جـ)، والمقابلة للضلع ب.
• جتا (جـَ) = (أ² ب²-جـ²)/ (2×أ×ب)؛ حيث إن: (جـَ) هي الزاوية المحصورة بين الضلعين (أ) و(ب)، والمقابلة للضلع جـ.

لمزيد من المعلومات حول قانون الجيب وجيب التمام يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون الجيب وقانون جيب التمام.

أمثلة على قانون جيب التمام

• المثال الأول: مثلث (أ ب جـ) فيه قياس الزاوية (جـ) يساوي º37، والضلع (أ جـ) قياسه 11سم، والضلع (ب جـ) قياسه 8سم، فما هو قياس الضلع (أ ب)؟^[٢]
  • الحل:
  • بتطبيق قانون جيب التمام فإنّ الضلع أ ب²= ب جـ² أ جـ² -2 ×(ب جـ)×(أ جـ)×جتا (جـ))، ومنه:
  • أب²=8² 11²-(2×8×11×جتا (37))=44.44.
  • بأخذ الجذر التربيعي لهذه القيمة فإنّ الضلع (أ ب) يساوي 6.67 سم، وذلك لأقرب منزلتين عشريتين.

• المثال الثاني: مثلث (أ ب جـ) فيه قياس الزاوية (جـ) º20، وطول الضلع (أ جـ) يساوي 5سم، وطول الضلع (ب جـ) يساوي 11سم، فما هو قياس الضلع (أب)؟^[٣]
  • الحل:
  • بتطبيق قانون جيب التمام فإنّ الضلع أ ب²= ب جـ² أ جـ² -2 ×(ب جـ)×(أ جـ)×جتا (جـ))، ومنه:
  • أب²=11² 5²-(2×5×11×جتا (20))= 42.36.
  • بأخذ الجذر التربيعي لهذه القيمة فإنّ الضلع (أ ب) يساوي 6.53 سم، وذلك لأقرب منزلتين عشريتين.

• المثال الثالث: إذا كان طول الضلع الأول لأحد المثلثات 10سم، والضلع الثاني 6سم، وقياس الزاوية المحصورة بينهما 40درجة، جد طول الضلع الثالث لهذا المثلث.^[٤]
  • الحل:
  • بتطبيق قانون جيب التمام فإنّ قياس الضلع الثالث ولنفترض أنه (أ) يساوي: أ²= ب² جـ² -(2×ب×جـ×جتا أَ)، ومنه أ²=10² 6²-(2×10×6×جتا(40)=44، وبأخذ الجذر اتلربيعي للطرفين ينتج أن: أ=6.63سم.

• المثال الرابع: مثلث (أ ب جـ) فيه قياس الضلع (أ جـ) يساوي 9سم، وطول الضلع (ب جـ) يساوي 10سم، و(أب) يساوي 13سم، جد قياس الزاوية الأكبر لهذا المثلث.^[٥]
  • الحل:
  • الزاوية الأكبر في أي مثلث هي الزاوية المقابلة للضلع الأكبر، وهو الضلع (أب)، وهي الزاوية المحصورة بين الضلعين (أجـ)، (ب جـ)، ولنفترض أنها (س).
  • لإيجاد قياس الزاوية (س) يمكن استخدام القانون الآتي:
  • جتا (س) = (أجـ² ب جـ²-أب²)/ (2×أجـ×ب جـ)= (9² 10²-13²)/ (2×9×10)=12/180=0.067، ومنه س=86.2º.

• المثال الخامس: إذا سار قائد إحدى الطائرات بخط مستقيم مدة ساعة ونصف، قبل أن يعدّل اتجاهه بمقدار 8 درجات باتجاه اليسار، ثم سار مدة ساعتين في اتجاهه الجديد، جد بُعد قائد الطائرة عن نقطة البداية عند تلك اللحظة علماً أن سرعة الطائرة ثابتة طوال الرحلة وتساوي 450كم/ساعة.^[٥]
  • الحل:
  • بتمثيل المسألة ينتج أن مسار حركة الطائرة مع نقطة البداية يشكّل مثلثاً فيه:
    • طول الضلع الأول يعادل المسافة المستقيمة التي سارها قائد الطيارة في البداية، وتساوي: 450كم/ساعة×1.5ساعة=675كم.
    • طول الضلع الثاني يعادل المسافة التي سارها قائد الطائرة بعد تعديل اتجاهه، وتساوي: 450كم/ساعة×2=900كم.
    • أما الضلع الأخير فهو المسافة الواصلة بين نقطة البداية والنقطة التي وصلت إليها الطائرة، وهو المطلوب حسابه ولنفترض أنه (أ).
  • حساب الزاوية المحصورة بين ضلعي المثلث الأول والثاني، وهي تساوي 180-8=172درجة؛ لأن قائد الطائرة انحرف 8درجات إلى اليسار.
  • حساب طول الضلع (أ) باستخدام قانون جيب التمام، وذلك كما يلي:
    • أ²= ب² جـ² -(2×ب×جـ×جتا أَ)، ومنه: أ²=900² 675²-(2×900×675×جتا172)، ومنه أ=1571كم؛ أي أن المسافة بين نقطة البداية والنقطة التي وصلت إليها الطائرة تساوي 1571كم.

• المثال السادس: إذا كانت طول الضلع (أب) في المثلث أب جـ يساوي 10سم، وطول (ب جـ) 11سم، وطول (أجـ) يساوي 12سم، جد قياس جميع زوايا المثلث.^[٦]
  • الحل: بتطبيق قانون جيب التمام ينتج أن:
  • حساب قياس الزاوية المحصورة بين الضلعين (أب)، (أجـ)، جتا (أَ) = (أب² أجـ²-ب جـ²)/ (2×أب×أجـ)، ومنه جتا (أَ)=(10² 12²-11²)/(2×10×12)، ومنه: جتا(بَ)=240/123=0.5125، وأَ=59.17 درجة.
  • حساب قياس الزاوية المحصورة بين الضلعين (أب)، (ب جـ)، جتا (بَ) = (أب² ب جـ²- أجـ²)/ (2×أب×ب جـ)، ومنه جتا (بَ)=(10² 11²-12²)/(2×10×11)، ومنه: جتا(بَ)=77/220=0.35، وبَ=69.5 درجة.
  • حساب قياس الزاوية المحصورة بين الضلعين (ب جـ)، (أجـ)، جتا (جـَ) = (ب جـ² أجـ²-أب²)/ (2×ب جـ×أجـ)، ومنه جتا (جـَ)=(11² 12²-10²)/(2×11×12)، ومنه: جتا(جـَ)=264/165=0.625، وجـَ=51.32 درجة

• المثال السابع: إذا كان طول الضلع الأول لأحد المثلثات 4سم، والضلع الثاني 5سم، وقياس الزاوية المحصورة بينهما 40درجة، جد محيط هذا المثلث.^[٧]
  • الحل:
  • بتطبيق قانون جيب التمام فإنّ قياس الضلع الثالث ولنفترض أنه (أ) يساوي: أ²= ب² جـ² -(2×ب×جـ×جتا أً)، ومنه أ²=5² 4²-(2×5×4×جتا(40)=10.36، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج أن: أ=3.21سم.
  • حساب محيط المثلث والذي يساوي مجموع أطوال أضلاعه=4 5 3.21=12.21سم.

• المثال الثامن: سبّب أحد الأعاصير ميلان شجرة من أشجار حديقة أحمد، فإذا قام والده بتثيبتها بعد انتهاء الإعصار بخيط طوله 6م، ثبّته من أحد أطرافه بوتد في الأرض يبعد مسافة 4م عن قاعدة الشجرة، وثبّت طرفه الآخر على ساق الشجرة نفسها وعلى بعد 3.5م من قاعدة الشجرة، جد زاوية ميلان هذه الشجرة.^[٨]
  • الحل:
  • بتمثيل المسألة ينتج أن الشجرة مع الخيط تشكّل مثلثاً فيه:
    • طول الضلع الأول (أ) يساوي طول الخيط ويساوي 6م.
    • طول الضلع الثاني (ب) يساوي بعد الوتد عن قاعدة الشجرة ويساوي 4م.
    • طول الضلع الثالث (جـ) يساوي المسافة الواصلة بين طرف الخيط المثبّت على الشجرة وقاعدتها، ويساوي 3.5م.
  • بتطبيق قانون جيب التمام فإنّ زاوية ميلان الشجرة (أَ) تقابل الضلع الذي يمثّل طول الخيط وهي الزاوية المقابلة للضلع (أ)، والمحصورة بين الضلعين (ب)، (جـ)، ولنفترض أنها (جـَ).
    • جتا (أَ) = (جـ² ب²-أ²)/ (2×ب×جـ)، ومنه: جتا (أَ)=(4² 3.5²-6²)/(2×4×3.5)=7.75/28-=0.277-، ومنه (أَ)=106درجة، وهي زاوية ميلان الشجرة.

• المثال التاسع: إذا رصدت إحدى محطات التتبع موقع طائرتين في إحدى اللحظات بالنسبة لنقطة معينة هي أَ، فإذا كان بعد الطائرة الأولى عن النقطة (أَ) هو 50كم، وبعد الطائرة الثانية عن النقطة (أَ) هو 72كم، والزاوية المتشكّلة بين الطائرتين عند النقطة (أَ) تساوي 49 درجة، جد المسافة بين الطائرتين عند تلك اللحظة.^[٩]
  • الحل:
  • بتمثيل المسألة ينتج أن الطائرتين مع النقطة (أَ) تشكّلان مثلثاً، قياس أضلاعه كما يأتي:
    • طول الضلع الأول يساوي بعد الطائرة الأولى عن النقطة (أَ)=50كم.
    • طول الضلع الثاني يساوي بعد الطائرة الثانية عن النقطة (أَ)=72كم.
    • طول الضلع الثالث يساوي المسافة بين الطائرتين وهو المطلوب من هذا السؤال.
    • الزاوية المحصورة بين الضلعين الأول والثاني (أَ)=49درجة.
  • حساب طول الضلع الثالث ولنفترض أنه (أ) باستخدام قانون جيب التمام، وذلك كما يلي:
    • أ²= ب² جـ² -(2×ب×جـ×جتا أَ)، أ²=72² 50²-(2×72×50×جتا49)=2961، ومنه أ=54.42كم، وهي المسافة بين الطائرتين

المراجع

1. ^ ^{أ ب ت} "Law of Cosines Calculator", www.omnicalculator.com, Retrieved 8-5-2019. Edited.
2. ^ ^{أ ب ت} "The Law of Cosines", www.mathsisfun.com, Retrieved 9-5-2019. Edited.
3. ↑ "Law of Cosines", www.varsitytutors.com, Retrieved 9-5-2019. Edited.
4. ↑ "Law of Cosines", www.varsitytutors.com, Retrieved 7-4-2020. Edited.
5. ^ ^{أ ب} "Law of Cosines / Cosine Rule", www.onlinemathlearning.com, Retrieved 6-4-2020. Edited.
6. ↑ "Law of Cosines Examples", www.shmoop.com, Retrieved 7-4-2020. Edited.
7. ↑ "Law of Cosines", www.varsitytutors.com, Retrieved 7-4-2020. Edited.
8. ↑ "General Questions", www.algebralab.org, Retrieved 7-4-2020. Edited.
9. ↑ "Cosine Law Problems", www.analyzemath.com, Retrieved 7-4-2020. Edited.