حل معادلة من الدرجة الأولى

نظرة عامة حول المعادلات من الدرجة الأولى

تعتبر المعادلات من الدرجة الأولى أبسط أنواع المعادلات، وهي التي لا تحمل فيها المتغيرات أساً يزيد مقداره عن العدد 1، وتسمّى المعادلات من الدرجة الأولى بالمعادلات الخطيّة (بالإنجليزية: Linear Equation)، ومن الأمثلة على المعادلات الخطية هي: ص=2س 1، 5س=6 3ص، ص/2=3-س، أما من الأمثلة على المعادلات غير الخطية: ص²-2=0، 6=ص-3√3، 5 س.³.^[١][٢]

لمزيد من المعلومات حول حل المعادلات يمكنك قراءة المقالة الآتية: طرق حل المعادلات الجبرية.

كيفية حل المعادلات من الدرجة الأولى

حل المعادلات ذات المتغير أو المجهول الواحد

يعني حل المعادلات إيجاد قيمة المتغيرات التي تحقق المعادلة، وتُعطي النتيجة الصحيحة؛ فمثلاً يتطلب حل المعادلة س 1=1، إيجاد قيمة س التي تجعل الطرف الأيسر للمعادلة مساوياً للطرف الأيمن فيها، وعليه فإن قيمة س التي تحقق ذلك هي 0، وتمتلك المعادلات الخطية عادة حلاً واحداً فقط، ولحل المعادلات ذات المتغير الواحد يمكن اتباع الخطوات البسيطة الآتية:^[٣]

• فك كافة الأقواس الموجودة في المعادلة.
• إعادة ترتيب الحدود؛ بوضع المتغيرات على طرف واحد من المعادلة، وجميع الثوابت على الطرف الآخر.
• جمع الحدود المتشابهة معاً ثم تبسيطها، مع مراعاة ضرورة المحافظة على توازن المعادلة؛ أي إجراء العمليات نفسها على طرفيها.
• حل المعادلة، ثم التأكد من الحل عن طريق تعويض القيم في المعادلة مرة أخرى.

حل المعادلات ذات المتغيرين أو المجهولين

يهدف نظام المعادلات الخطية ذات المتغيرين إلى إيجاد قيم (س، ص) التي تحقّق جميع المعادلات في المسألة، والتي تكون عادة على الصورة:^[٤]
أس ب ص=جـ
دس هـ ص=و

وذلك عن طريق اتباع إحدى الطرق الآتية:^[٤]

• طريقة التعويض (بالإنجليزية: Substitution): وتتم هذه الطريقة عن طريق ترتيب المعادلة الأولى ليصبح أحد المتغيرين في الطرف الأيمن أو الأيسر لوحده، والمتغير الثاني وكامل ثوابت المعادلة في الطرف الآخر، ثم وضع قيمة المتغير من المعادلة الأولى والمتمثّلة بالمتغير الثاني والثوابت في موقعه بالمعادلة الثانية، ثم حل المعادلة الثانية بطريقة مماثلة لطريقة حل المعادلة الخطية ذات المتغير الواحد، فمثلاً يمكن حل نظام المعادلات الآتية 3س-ص=7، 2س 3ص=1، كما يأتي:^[٥]
  • أولاً ترتيب المعادلة الأولى ليصبح المتغير ص في الطرف الأيمن لوحده، وذلك عن طريق طرح (3س) من طرفي المعادلة لتصبح -ص=7-3س، ثم قسمة طرفي المعادلة على (-1) لتصبح ص=3س-7.
  • تعويض قيمة ص، وهي 3س-7 في موقع المتغير ص في المعادلة الثانية، وذلك كما يأتي: 2س 3(3س-7)=1.
  • فك الأقواس وتبسيط المعادلة لتصبح: 2س 9س-21=1.
  • جمع الحدود المتشابهة مع بعضها، لتصبح المعادلة 11س=22، ومنه س=2.
  • حساب قيمة ص عن طريق تعويض قيمة س في المعادلة الأولى، لينتج أن ص=3(2)-7=-1.

• طريقة الحذف: (بالإنجليزية: Elimination) تتم هذه الطريقة عن طريق ضرب إحدى المعادلتين أو كلتيهما بعدد مناسب؛ وذلك بضرب كل حد من الحدود بنفس هذا العدد، وذلك لتتساوى في النهاية معاملات أحد المتغيرات في قيمتها على أن تختلف في إشارتها بين المعادلتين، ثم جمع المعادلتين معاً، ليُلغي أحد متغيرات المعادلة الأولى المتغير المشابه له في المعادلة الثانية والمساوي له في القيمة والمختلف معه في الإشارة، للحصول في النهاية على معادلة خطية ذات متغير واحد يمكن حلها ببساطة، وذلك كما في المثال الآتي، وهو حل المعادلتين الآتيتين: 3س-ص=7، 2س 3ص=1.^[٥]
  • يجب لحل هاتين المعادلتين أولاً ضرب المعادلة الأولى بالقيمة (3) لتصبح المعادلتين كما يأتي: 9س-3ص=21، 2س 3ص=1.
  • جمع المعادلتين معاً: 9س-3ص 2س 3ص=22، ومنها 11س=22، ومنه س=2، أما ص بعد تعويض قيمة س في المعادلة الأولى فتساوي: 3(2)-ص=7، ومنه ص=-1.

لمزيد من المعلومات حول حل المعادلات بالحذف والتعويض يمكنك قراءة المقال الآتي: حل جملة معادلتين.
لمزيد من المعلومات حول حل المعادلات التربيعية يمكنك قراءة المقال الآتي: طرق حل المعادلة التربيعية.

أمثلة متنوعة على حل المعادلات من الدرجة الأولى

أمثلة على حل المعادلة الخطية ذات المجهول الواحد

• المثال الأول: جد قيمة المتغير ص في المعادلة الآتية: ص 4=-7.^[١]
  • الحل:جمع الحدود المتشابهة مع بعضها وذلك بطرح العدد (4) من الطرفين، لتصبح المعادلة: ص 4-4 = -7-4، لينتج أن: ص=-11.

• المثال الثاني: ما قيمة المتغير س في المعادلة الآتية: س/2=5.^[١]
  • الحل: جمع الحدود المتشابهة مع بعضها وذلك بضرب طرفي المعادلة بالعدد (2)، لتصبح المعادلة: 2(س/2)=2(5)، ومنه س=10.

• المثال الثالث: ما قيمة المتغير (س) في المعادلة الآتية 3(4س-1)=6(2-8س)؟^[٦]
  
  • الحل: جمع الثوابت مع بعضها، والمتغيرات مع بعضها، وذلك بفك الأقواس عن طريق توزيع الأرقام خارج الأقواس على ما داخل الأقواس، وذلك على النحو الآتي: 12س-3 = 12-48س، ثم تجميع الحدود المتشابهة 60س = 15، ومنه س=1/4.

• المثال الرابع: ما حل المعادلة الخطية الآتية 3(س 5) = 2(-6-س) -2س؟^[٥]
  
  • الحل: فك الأقواس عن طريق توزيع الأرقام على ما داخل الأقواس، وذلك على النحو الآتي: 3س 15= -12-2س-2س، ثم تجميع الحدود المتشابهة: 7س = -27، ومنه س=-27/7.

• المثال الخامس: جد قيمة المتغير في المعادلة الآتية: (2-س)/(3س 1)=2.^[٣]
  • الحل: جمع الثوابت مع بعضها، والمتغيرات مع بعضها، وذلك عن طريق ضرب طرفي المعادلة بـ (2-س)=2(3س 1)، ثم فك الأقواس: 2-س=6س 2، ومنه 7س=0، ومنه س=0.

• المثال السادس: جد قيمة المتغير في المعادلة الآتية: 6س-19=3س-10.^[٧]
  • الحل: جمع الثوابت مع بعضها، والمتغيرات مع بعضها، لتصبح المعادلة: 3س=9، ومنه س=3.

• المثال السابع: جد قيمة المتغير في المعادلة الآتية: (س/2) (س/3)=(س-7).^[٧]
  • الحل: جمع المتغيرات مع بعضها عن طريق توحيد المقامات، لتصبح المعادلة: 5س/6=(س-7)، ضرب طرفي المعادلة بالعدد (6) لتصبح المعادلة: 5س=6(س-7)، فك الأقواس وتجميع الحدود المتشابهة: س=42.

أمثلة على حل المعادلة الخطية ذات المجهولين

• المثال الأول: جد قيمة المتغيرين (س)، (ص) في نظام المعادلات الآتي: 2س 4=ص، 3س 2=ص.^[٨]
  • الحل: يمكن حل نظام المعادلات السابق بالتعويض، وذلك عن طريق اتباع الآتي:
  • تعويض قيمة ص من المعادلة الأولى في المعادلة الثانية لتصبح المعادلة الثانية: 3س 2=2س 4، وبتجميع الحدود المتشابهة ينتج أن: س=2.
  • تعويض قيمة س في المعادلة الأولى لينتج أن: ص=2(2) 4=8.

• المثال الثاني: جد قيمة المتغيرين (س)، (ص) في نظام المعادلات الآتي: 2س-2ص=8، س ص=1.^[٨]
  • الحل: يمكن حل نظام المعادلات السابق بالحذف، وذلك عن طريق اتباع الآتي:
  • ضرب المعادلة الثانية بالعدد (2) للتخلص من المتغير ص، لتصبح المعادلة الثانية: 2س 2ص=2.
  • جمع المعادلتين معاً: 2س-2ص 2س 2ص=8 2، ومنه 4س=10، س=5/2.
  • تعويض قيمة س في المعادلة الثانية لينتج أن: ص=1-(5/2)=-1.5.

• المثال الثالث: جد قيمة المتغيرين (س)، (ص) في نظام المعادلات الآتي: 3س-4ص=7، -2س 5ص=0.
  • الحل: يمكن حل نظام المعادلات السابق بالتعويض، وذلك عن طريق اتباع الآتي:^[٦]
  • إبقاء المتغير ص على الطرف الأيسر لوحده في المعادلة الثانية عن طريق نقل الحد -2س إلى الطرف الآخر لتصبح المعادلة: 5ص=2س، قسمة طرفي المعادلة على العدد 5، لتكون قيمة ص=2س/5.
  • تعويض قيمة ص من المعادلة الثانية في المعادلة الأولى لتصبح المعادلة: 3س-4(2س/5)=7، وبفك الأقواس وتجميع الحدود المتشابهة ينتج أن: 3س-8/5 س=7، ومنه 1.4س=7، ومنه س=5.
  • تعويض قيمة س بالمعادلة الثانية بعد ترتيبها: ص=2(5)/5=2.

• المثال الرابع: جد قيمة المتغيرين (س)، (ص) في نظام المعادلات الآتي: -س ص=-5، 2س-5ص=1.^[٩]
  • الحل: يمكن حل نظام المعادلات السابق بالحذف، وذلك عن طريق اتباع الآتي:
  • ضرب المعادلة الأولى بالعدد (2) للتخلص من المتغير س، لتصبح المعادلة: -2س 2ص=-10.
  • جمع المعادلتين معاً: -2س 2ص 2س-5ص=-10 1، ومنه -3ص=-9، ومنه ص=3.
  • تعويض قيمة س في المعادلة الاولى لينتج أن: -س 3=-5، ومنه س=8.

• المثال الخامس: جد قيمة المتغيرين (س)، (ص) في نظام المعادلات الآتي: 2س 3ص=8، 3س 5ص=10.^[٩]
  • الحل: يمكن حل نظام المعادلات السابق بالتعويض، وذلك عن طريق اتباع الآتي:
  • إبقاء المتغير ص على الطرف الأيسر لوحده في المعادلة الثانية عن طريق نقل الحد -3س إلى الطرف الآخر لتصبح المعادلة: 5ص=10-3س، قسمة طرفي المعادلة على العدد 5، لتكون قيمة ص=(10-3س)/5.
  • تعويض قيمة ص من المعادلة الثانية في المعادلة الأولى لتصبح المعادلة: 2س 3((10-3س)/5)=8، وبفك الأقواس وتجميع الحدود المتشابهة ينتج أن: 2س-(9/5)س 6=8، ومنه 0.2س=2، ومنه س=10.
  • تعويض قيمة س بالمعادلة الثانية بعد ترتيبها: ص=(10-3س)/5=(10-3(10))/5=-4.

• المثال السادس: جد قيمة المتغيرين (س)، (ص) في نظام المعادلات الآتي:5س 2ص=4، -2س ص=11.^[١٠]
• الحل: يمكن حل نظام المعادلات السابق بالحذف، وذلك عن طريق اتباع الآتي:
  • ضرب المعادلة الثانية بالعدد (-2) للتخلص من المتغير ص، لتصبح المعادلة: 4س-2ص=-22.
  • جمع المعادلتين معاً: 5س 2ص 4س-2ص=4-22، ومنه 9س=-18، س=-2.
  • تعويض قيمة س في المعادلة الثانية لينتج أن: -2(-2) ص=11، ومنه ص=7.

لمزيد من المعلومات حول حل المعادلات من الدرجة الثالثة يمكنك قراءة المقالات الآتية: كيفية حل معادلة من الدرجة الثالثة .

المراجع

1. ^ ^{أ ب ت} "Linear Equations in One Variable", www.wtamu.edu, Retrieved 5-4-2019. Edited.
2. ↑ "Linear Equations", www.mathsisfun.com, Retrieved 17-3-2020. Edited.
3. ^ ^{أ ب} "Solving Linear Equations", www.siyavula.com, Retrieved 17-3-2020. Edited.
4. ^ ^{أ ب} "Linear Systems With Two Variables", tutorial.math.lamar.edu, Retrieved 17-3-2020. Edited.
5. ^ ^{أ ب ت} "Linear Equations", tutorial.math.lamar.edu, Retrieved 5-4-2019. Edited.
6. ^ ^{أ ب} "Solving Linear Equations", www.biology.arizona.edu, Retrieved 5-4-2019. Edited.
7. ^ ^{أ ب} "Solving Linear Equations", www.math-only-math.com, Retrieved 17-3-2020. Edited.
8. ^ ^{أ ب} "Solving systems of equations in two variables", www.mathplanet.com, Retrieved 17-3-2020. Edited.
9. ^ ^{أ ب} "Systems of Linear Equations: Two Variables", courses.lumenlearning.com, Retrieved 17-3-2020. Edited.
10. ↑ "Linear Equations in Two Variables", www.math.utah.edu, Retrieved 17-3-2020. Edited.