تحليل القوس التكعيبي

تحليل القوس التكعيبي

يتكوّن القوس التكعيبي من حدين أو أكثر وهو مرفوع للقوة 3، ويكون عادة على الصيغة الآتية: (أ±ب)³، ويعني تحليل القوس التكعيبي أو فك القوس التكعيبي ضرب كثير الحدود بنفسه ثلاث مرات كما يأتي: (أ±ب)³= (أ±ب)×(أ±ب)×(أ±ب)، وذلك باتباع الخطوات الآتية:^[١]

• ضرب أول قوسين ببعضهما البعض وفق خاصية التوزيع:
  • (أ ب)×(أ ب) = (مربع الحد الأول 2×الحد الأول×الحد الثاني مربع الحد الثاني): (أ ب)×(أ ب) = أ² 2×أ×ب ب².
  • (أ-ب)×(أ-ب) = (مربع الحد الأول - 2×الحد الأول×الحد الثاني مربع الحد الثاني): (أ-ب)×(أ-ب) = أ²-2×أ×ب ب².
• ضرب ناتج التحليل السابق بـ (أ ب) مرة أخرى لينتج أن: (أ ب) × (أ² 2×أ×ب ب²)= أ³ 3×أ²×ب 3×أ×ب² ب³.
• بناء على ما سبق تكون القاعدة كما يلي:
  • (أ ب)³ = (مكعب الحد الأول) (3×مربع الحد الأول×الحد الثاني) (3×الحد الأول×مربع الحد الثاني) (مكعب الحد الثاني) = أ³ (3×أ²×ب) (3×أ×ب²) ب³.
  • (أ-ب)³ = (مكعب الحد الأول) - (3×مربع الحد الأول×الحد الثاني) (3× الحد الأول×مربع الحد الثاني) - (مكعب الحد الثاني) = أ³ - (3×أ²×ب) (3×أ×ب²) - ب³.

أمثلة على تحليل القوس التكعيبي

• المثال الأول: حلّل القوس التكعيبي الآتي: (س 1)³.^[٢]
  • الحل: بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون التحليل كالآتي: س³ 3س² 3س 1

• المثال الثاني: حلّل القوس التكعيبي الآتي: (أ-2ب)³.^[٢]
  • الحل: بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون التحليل كالآتي: أ³-6أ²ب 12أ×ب²-8ب³.

• المثال الثالث: اكتب ما يلي بأبسط صورة: (س ص)³ (س-ص)³.^[٢]
  • الحل:
  • بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون تحليل القوس الأول والثاني كالآتي:
    • (س ص)³ = س³ (3×س²×ص) (3×س×ص²) ص³.
    • (س-ص)³ = س³- (3×س²×ص) (3×س×ص²) - ص³.
  • (س ص)³ (س-ص)³ = س³ (3×س²×ص) (3×س×ص²) ص³ س³- (3×س²×ص) (3×س×ص²) - ص³ = 2س³ 6×س×ص².

• المثال الرابع: حلّل القوس التكعيبي الآتي: (2س 1)³.^[٣]
  • الحل: بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون تحليل القوس كالآتي:
  • (2س 1)³ = 8س³ 12س² 6س 1.

• المثال الخامس: حلّل القوس التكعيبي الآتي: (2س-3ص)³.^[٣]
  • الحل: بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون تحليل القوس كالآتي:
  • (2س-3ص)³ = 8س³ - 36س²ص 54س ص² - 27ص³.

الفرق بين القوس التكعيبي والفرق بين مكعبين

يختلف تحليل الفرق بين مكعبين (أ³- ب³)، أو تحليل مجموع المكعبين، عن تحليل القوس التكعيبي (أ±ب)³؛ حيث يكون تحليل القوس التكعيبي كما ذُكر سابقاً، أما تحليل الفرق بين مكعبين، ومجموع المكعبين فيكون باتباع القواعد الآتية:

• فتح قوسين؛ في الأول يتم وضع الجذر التكعيبي للحد الأول مطروحاً منه الجذر التكعيبي للحد الثاني (أ-ب).
• وضع مربع الحد الأول في القوس الثاني، ثم الحد الأول مضروباً بالحد الثاني، ثم مربع الحد الثاني: (أ² أ×ب ب²)، حيث تكون إشارة الحد الأوسط دائماً عكس إشارة (ب)، أما إشارة الحد الأخير فدائماً موجبة، لتكون النتيجة في النهاية كما يلي:
  • (أ³- ب³) = (أ-ب)(أ² أ×ب ب²).
  • (أ³ ب³) = (أ ب)(أ² - أ×ب ب²).

• مثال: حلّل ما يلي: (س³-8)
  • تطبيق القاعدة المذكورة سابقاً ليكون التحليل كالآتي: (س-2)(س² 2س 4).

• مثال: حلّل ما يلي: 27ص³ س³.^[٤]
  • تطبيق القاعدة المذكورة سابقاً ليكون التحليل كالآتي: (3ص س)(9ص²-3س ص س²).

لمزيد من المعلومات حول تحليل الفرق بين مكعبين، وتحليل مجموع مكعبين يمكنك قراءة المقالات الآتية: تحليل مجموع مكعبين، تحليل الفرق بين مكعبين.

المراجع

1. ↑ "Binomial Theorem", www.mathsisfun.com, Retrieved 2-3-2019. Edited.
2. ^ ^{أ ب ت} "Applying the Perfect Cube Identity", www.brilliant.org, Retrieved 8-6-2020. Edited.
3. ^ ^{أ ب} "Polynomials Basic", www.web-formulas.com, Retrieved 8-6-2020. Edited.
4. ↑ "Sum and Difference of Cubes", www.varsitytutors.com, Retrieved 9-6-2020. Edited.