قوانين الاحتمالات في الرياضيات

نظرة عامة حول الاحتمالات

يمكن تعريف الاحتمالات (بالإنجليزية: Probability) بأنّها مقياس لإمكانية وقوع حدث ما، وتُستخدم بشكل كبير في حوادث المعاملات اليومية، وخصوصاً تلك التي تمتلك نتائج غير مؤكّدة، ويُطلق على العلم المختص بتحليل الأحداث التي تحكمها الاحتمالات اسم علم الإحصاء،^[١] فمثلاً عند رمي عملة نقدية فإن الوجه الظاهر قد يكون صورة، أو كتابة، وبالتعبير عن ذلك بشكل رياضي فإنّ احتمالية ظهور الصورة على الوجه العلوي هي 1/2، واحتمالية ظهور الكتابة على الوجه العلوي هي كذلك 1/2، ولتقريب الصورة بشكل أكبر إليك أيضاً المثال الآتي: عند رمي حجر نرد الذي تقع الأعداد الآتية على كل وجه من وجوهه (1، 2، 3، 4، 5، 6)، فإنّ احتمالية ظهور أي عدد منها على الوجه العلوي هي: 1/6، ويجدر بالذكر هنا أنّه هناك مجموعة من المفاهيم المرتبطة بعلم الاحتمالات، ومنها:^[٢]

• التجربة: (Experiment) هي عبارة عن مجموعة من المحاولات التي تم إجراؤها بنفس الطريقة، والتي تؤدي إلى نتائج مختلفة في كل محاولة.
• نتيجة التجربة: (Outcome) تمثّل إحدى النتائج الممكنة للتجربة.
• الفضاء العيني: (Sample Space) تمثل جميع النتائج الممكنة لتجربة معينة.
• الحدث: (Event) يتمثل بإحدى نتائج التجربة أو بأكثر من نتيجة منها.

يجدر التنويه هنا كذلك إلى الفرق بين مفهومي الحوادث المستقلة (Independent Events)، والحوادث غير المستقلة (Dependent Events)، وذلك كما يلي:^[٣]

• الحوادث المستقلّة: هي الحوادث التي لا تؤثّر نتيجتها أو احتمالية حدوثها على بعضها البعض؛ أي لا تؤثر نتيجة كل حدث على نتيجة غيره من الحوادث الأخرى؛ فمثلاً عند رمي حجري في نفس الوقت فإن احتمالية الحصول على العدد 6 في حجر النرد الأول تساوي احتمالية الحصول عليه في حجر النرد الثاني، وتساوي 1/6؛ أي أن نتيجة رمي الحجر كل مرة لا تؤثر ولا تتأثر بنتيجة رميه في المرات الأخرى.
• الحوادث غير المستقلّة: هي الحوادث التي تؤثّر نتيجتها أو احتمالية حدوثها على الحوادث الأخرى؛ فمثلاً إذا كان لدينا صندوق يحتوي على أربع كرات اثنتين منهما لونهما أحمر، واثنتين لونهما أزرق، فإذا تم سحب كرة من هذا الصندوق وكانت هذه الكرة حمراء فإن احتمالية الحصول على كرة حمراء في المرة الثانية هو 1/3، وذلك لأن عدد الكرات الحمراء المتبقة في الصندوق هي كرة واحدة، أما إذا كانت الكرة الأولى زرقاء فإن احتمالية الحصول على كرة حمراء في المرة الثانية هو 2/3؛ أي أن احتمالية الحادث الأول ونتيجته أثّرت على احتمالية حدوث الحوادث الأخرى التابعة لها.

قوانين الاحتمالات

هناك مجموعة من القوانين الخاصة بالاحتمالات، وهي:

• احتمالية وقوع الحادث = عدد عناصر الحادث/عدد عناصر الفضاء العيني (Ω)، والأمثلة الآتية توضّح ذلك:^[٢]
  • مثال: ما هو احتمال الحصول على العدد 4 عند رمي حجر النرد؟
    • عدد عناصر الحادث = 1
    • عدد عناصر الفضاء العيني = 6، وذلك لأن حجر النرد يتكون من (1، 2، 3، 4، 5، 6)، وهي النتائج الممكنة لهذه التجربة.
    • احتمالية الحصول على العدد 4 = 1/6.
  • مثال: يحتوي صندوق على 5 كرات، أربعة منها زرقاء، وواحدة حمراء، فما هو احتمال الحصول على كرة زرقاء عند سحب كرة واحدة من الصندوق؟
    • عدد عناصر الحادث = 4
    • عدد عناصر الفضاء العيني (أي جميع الكرات الموجودة داخل الصندوق) = 5
    • احتمالية وقوع الحادث = 4/5.

• إذا كان الحادثان أ، وب مستقلين فإنّ: احتمالية وقوع الحادثين معاً أي؛ (أ∩ب) = احتمال وقوع الحادث أ × احتمال وقوع الحادث ب، والمثال الآتي يوضّح ذلك:^[٤]
  • مثال: عند رمي حجر نرد، وقطعة نقدية معاً فما هو احتمال الحصول على العدد 1، وصورة معاً؟
    • احتمال الحصول على صورة هو 1/2.
    • احتمال الحصول على العدد 1 هو 1/6.
    • بما أن الحادثين مستقلين فإن احتمالية الحصول على العدد 1، والصورة معاً = 1/6 × 1/2 = 1/12.

• إذا كان أ، وب حادثين مستقلين فإنّ: احتمالية حدوث أحدهما أو حدوثهما معاً (أ ∪ ب) = احتمال حدوث الحادث أ احتمال حدوث الحادث ب - احتمال حدوث الحادثين معاً (أ ∩ ب)، وتجدر الإشارة هنا إلى أنّ (أ ∪ ب) يُقصد بها: احتمالية حدوث الحادث أ فقط، أو احتمالية حدوث الحادث ب فقط، أو كليهما معاً، والمثال الآتي يوضّح ذلك:^[٤]
  • مثال: عند رمي حجر نرد، وقطعة نقد معاً، فما هو احتمال الحصول على العدد 6، أو صورة، أو كليهما معاً؟
    • احتمال الحصول على صورة، أو العدد 6 معاً = احتمال الحصول على صورة احتمال الحصول على العدد 6 - احتمال الحصول على الاثنين معاً = 1/2 1/6 - (1/2×1/6) = 7/12.

• إن الحوادث المنفصلة (Disjoint Events) هي الحوادث التي تكون احتمالية حدوثها معاً تساوي صفر؛ أي (أ ∩ ب=0)؛ أي لا يمكن حدوثها مع بعضها البعض في الوقت نفسه، وبالتالي إذا كان أ، ب حادثين منفصلين فإنّ: احتمالية وقوع أحدهما (أ ∪ ب) = احتمالية وقوع الحادث (أ) احتمالية وقوع الحادث (ب).

ش

• إن احتمالية وقوع الحادث أ بشرط وقوع الحادث ب تساوي احتمالية وقوع الحادثين أ، ب معاً/احتمالية وقوع الحادث (ب)؛ أي ح (أ|ب) = ح (أ∩ب)/ ح (ب).^[٥]

ملاحظة: (أ∪ب) : تُقرأ أ اتحاد ب، (أ∩ب): تُقرأ أ تقاطع ب.

معلومات متنوعة حول الاحتمالات

من الأمور المتعلقة بالاحتمالات ما يلي:^[١]

• إن احتمالية وقوع الحادث تتراوح دائماً بين العددين صفر، و1، حيث إنّ:^[١][٣]
  • الصفر: هو احتمالية وقوع الحادث المستحيل
  • الواحد: هو احتمالية وقوع الحادث الأكيد.
• إذا كانت احتمالية وقوع الحادث (أ) أكبر من احتمالية وقوع الحادث (ب)؛ أي أنّ: ح(أ) > ح(ب) فهذا يعني أن فرصة حدوث أ أكبر من ب.
• إذا كانت احتمالية وقوع الحادث (أ) تساوي احتمالية وقوع الحادث (ب)؛ أي أنّ: ح (أ) = ح (ب) فهذا يعني أن فرصة وقوع هذين الحدثين متساوية.
• إن مجموع احتمالات وقوع جميع الحوادث لتجربة ما تساوي 1.^[٦]
• إن احتمالية عدم وقوع الحادث = 1 - احتمالية وقوعه.^[٣]
• كلما زادت قيمة احتمالية وقوع الحادث زادت إمكانية حدوثه.

أمثلة متنوعة حول الاحتمالات

• المثال الأول: إذا تم رمي حجر نرد مرة واحدة، فما هو احتمال الحصول على عدد من عوامل العدد 6؟^[٧]
  • الحل:
  • عوامل العدد 6 هي: 1، 2، 3، 6، وبالتالي:
  • احتمال الحصول على عدد من عوامل العدد 6 = عدد عناصر الحادث/عدد عناصر الفضاء العيني = 4/6 = 2/3.

• المثال الثاني: يحتوي صندوق على كرات ملونة باللون الأحمر، والأزرق، والأخضر، والبرتقالي، سحب أحمد 1000 كرة منها، ثم أعادها إلى مكانها، مرة تلو الأخرى، وحصل على النتائج الآتية: عدد الكرات الزرقاء: 300 كرة، وعدد الكرات الحمراء: 200 كرة، وعدد الكرات الخضراء: 450 كرة، وعدد الكرات البرتقالية: 50 كرة، فما هو أ) احتمال الحصول على خضراء ب) إذا كان الصندوق يحتوي على 100 كرة فقط، فما هو عدد الكرات الخضراء التي يمكن لأحمد الحصول عليها أثناء محاولاته بناء على ما سبق؟^[٣]
  • الحل:
  • أ) احتمالية الحصول على كرة خضراء = 450/1000 = 0.45
  • ب) إذا كان عدد الكرات في الصندوق 1000 كرة، فإن عدد الكرات الخضراء التي يمكن الحصول عليها 450 كرة، أما إذا كان عدد الكرات في الصندوق مئة كرة فإنه وبإجراء النسبة، والتناسب يمكن التوصّل إلى أن عدد الكرات الخضراء منها هي 45 كرة.

• المثال الثالث: إذا كتب خالد كل حرف من أحرف كلمة الميسيسيبي على ورقة منفصلة، وقام بطيها، ووضعها في قبعة، وطلب من صديقه محمد اختيار ورقة فما هو احتمال الحصول على ورقة تحتوي على الحرف ي؟^[٧]
  • الحل:
  • احتمال الحادث = عدد عناصر الحادث/عدد عناصر الفضاء العيني = 4/10.

• المثال الرابع: صندوقان يحتوي الأول منهما على 10 كرات خضراء، و8 كرات سوداء، ويحتوي الصندوق الثاني على 9 كرات خضراء، و 5 كرات سوداء، إذا تم سحب كرة واحدة من كل صندوق فما هو احتمال الحصول على كرة خضراء من كلا الصندوقين؟^[٨]
  • الحل:
  • احتمال الحصول على كرة خضراء من الصندوق الأول = 10/18 = 5/9؛ وذلك لأن عدد عناصر الفضاء العيني = 10 8 = 18.
  • احتمال الحصول على كرة خضراء من الصندوق الثاني = 9/14؛ وذلك لأن عدد عناصر الفضاء العيني = 5 9 = 14.
  • احتمال الحصول على كرة خضراء من كلا الصندوقين (أ∩ب) = احتمالية الحصول على كرة خضراء من الصندوق الأول× احتمالية الحصول على كرة خضراء من الصندوق الثاني = 5/9×9/14 = 5/14.

• المثال الخامس: إذا تم رمي قطعة نقد 9 مرات، وفي جميع هذه المرات كان الوجه الظاهر هو صورة، فما هو احتمال الحصول على صورة في المرة العاشرة؟^[٩]
  • الحل:
  • إن عملية رمي قطعة نقد في المرة العاشرة هي حادث مستقل، ولا يتأثر بالحوادث الأخرى، وبالتالي فإن احتمال الحصول على صورة في المرة العاشرة هو: عدد عناصر الحادث/ عدد عناصر الفضاء العيني = 1/2.

• المثال السادس: صف يحتوي على 60 طالب، 7/12 من الطلاب يرتدي قميص لونه أحمر، و 1/3 الطلاب يرتدي قميص لونه زهري، أما باقي الطلاب فيرتدون قمصاناً برتقالية اللون، فإذا تم اختيار طالب بشكل عشوائي من الصف فما هو احتمال أن يكون قميصه برتقالي اللون؟^[١٠]
  • الحل:
  • لمعرفة احتمال أن يكون لون قميص الطالب برتقالياً يجب أولاً معرفة عدد الطلاب اللذين يرتدون قمصاناً برتقالية اللون، ويمكن إيجادها كما يلي:
    • عدد الطلاب اللذين يرتدون قمصاناً حمراء = 7/12 × 60 = 35 طالب.
    • عدد الطلاب اللذين يرتدون قمصاناً زهرية اللون = 1/3 × 60 = 20 طالب.
    • عدد الطلاب اللذين يرتدون قمصاناً برتقالية = 60-35-20 = 5 طلاب.
  • وبالتالي فإن احتمال أن يكون لون قميص الطالب برتقالي = 5/60 = 1/12.

المراجع

1. ^ ^{أ ب ت} "Probability: the basics", www.khanacademy.org, Retrieved 8-7-2020. Edited.
2. ^ ^{أ ب} "Probability", www.mathsisfun.com, Retrieved 8-7-2020. Edited.
3. ^ ^{أ ب ت ث} "Probability", revisionmaths.com, Retrieved 8-7-2020. Edited.
4. ^ ^{أ ب} "Probability of a Single Event", onlinestatbook.com, Retrieved 8-7-2020. Edited.
5. ↑ "Probability Introduction", www.statisticshowto.com, Retrieved 8-7-2020. Edited.
6. ↑ "Probability", byjus.com, Retrieved 8-7-2020. Edited.
7. ^ ^{أ ب} "Probability ", www.mathopolis.com, Retrieved 8-7-2020. Edited.
8. ↑ "ProbabilityProbability", www.varsitytutors.com, Retrieved 8-7-2020. Edited.
9. ↑ "Probability", www.varsitytutors.com, Retrieved 8-7-2020. Edited.
10. ↑ "Probability", www.varsitytutors.com, Retrieved 8-7-2020. Edited.