إثبات قضیة فیثاغورس

نظرة عامة حول نظرية فيثاغورس

تعتبر نظرية فيثاغورس من أقدم النظريات التي عُرفت عند مهندسي البناء منذ القدم، وقد سميت نسبةً إلى عالم الرياضيات، والفيلسوف الإغريقي فيثاغورس، على الرغم من اكتشاف البابليين لها قبل ألف سنة من تاريخ اكتشافه،^[١] وتنص هذه النظرية على أنّ: في أي مثلث قائم الزاوية فإنّ مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين، والوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة، وهو أطول ضلع في المثلث القائم،^[٢] وهناك الكثير من التطبيقات لنظرية فيثاغورس؛ فمثلاً يمكن من خلالها تحديد إذا كان المثلث قائم الزاوية أم لا، كما يمكن من خلالها إيجاد طول أي ضلع إذا علم طول الضلعين الآخرين في المثلث القائم، إضافة إلى إيجاد طول القطر في المربع، أو المستطيل.^[٣]

لمزيد من المعلومات حول نظرية فيثاغورس يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون نظرية فيثاغورس

إثبات نظرية فيثاغورس

يمكن إثبات نظرية فيثاغورس باستخدام عدة طرق، وفيما يلي بيان لكل منها:^[٤]

• الطريقة الأولى: إذا كان لدينا المثلث القائم ق ل ر، وكان هذا المثلث قائم الزاوية في ل، فإنه يمكن إثبات نظرية فيثاغورس بالاستعانة بهذا المثلث، وذلك كما يلي:
  • الإشارة في البداية لطول (ق ر) بالرمز أ، ولطول الضلع (ر ل) بالرمز ب، ولطول (ق ل) بالرمز جـ.
  • رسم المربع (و س ز ي) وطول كل ضلع من أضلاعه يساوي طول الضلعين (ب جـ) معاً.
  • وضع النقاط يَ، ف، ج، ح على أضلاع هذا المربع: (و س)، (س ز)، (ز ي)، (ي و)، على الترتيب، بحيث تكون و يَ = س ف = ز ج = ي ح = ب، ثم الوصل بين النقاط بخط مستقيم ليتشكل لدينا المربع (يَ ف ج ح) وطول كل ضلع من أضلاعه أ، وتنحصر بينه وبين المربع (و س ز ي) أربعة مثلثات أطوال أضلاعها الثلاثة: أ، ب ، جـ
  • مساحة المربع (و س ز ي) = مساحة المربع (يَ ف ج ح) 4×مساحة أحد المثلثات الصغيرة، والتي أضلاعها: أ، ب، جـ.
  • بما أن مساحة المربع = (طول الضلع)²، فبالتالي فإنّ: (ب جـ)² = أ² 4×(1/2×ب×جـ)، ومنه وبفك الأقواس: ب² جـ² 2×ب×جـ = أ² 2×ب×جـ
  • وبتجميع الحدود ينتج أنّ: ب² جـ² = أ²، وهي نظرية فيثاغورس.

• الطريقة الثانية: إذا كان لدينا المثلث أ ب جـ وكان هذا المثلث قائم الزاوية في ب، وأردنا إثبات نظرية فيثاغورس، فإنه يمكن تحقيق ذلك كما يلي:
  • إذا كانت النقطة د تنصّف الضلع أ جـ، وعمودية عليه، وتم الوصل بينها وبين الرأس ب ليتشكل لدينا المثلثان أدب، والمثلث جـ د ب.
  • يلاحظ أن المثلثان أ ب جـ، و أ د ب متشابهين، وذلك لأنهما يشتركان في الزاوية أ، وكلاهما يحتوي على زاوية قياسها 90 درجة، وبالتالي فإنّ:
    • نسبة طول الضلعين: أد/ أب = أب/ أجـ.
    • وبالتالي فإن أد× أجـ = (أب)² .......(معادلة 1).
  • يلاحظ أيضاً أن المثلثين ب د جـ، و أ ب جـ متشابهان؛ وذلك لأنّهما يشتركان في الزاوية جـ، وكلاهما يحتوي على زاوية قياسها 90 درجة، وبالتالي فإنّ:
    • نسبة طول الضلعين: د جـ/ب جـ = ب جـ / أ جـ.
    • وبالتالي فإنّ: د جـ×أ جـ = (ب جـ)² .......(معادلة 2).
  • بتجميع المعادلتين 1، 2 فإن:
    • (أد × أجـ) (د جـ×أجـ) = (أ ب)² (ب جـ)²، ومنه:
    • باستخراج أجـ كعامل مشترك ينتج أنّ: أجـ × ( أد دجـ) = (أ ب)² (ب جـ)²، وبما أنّ: أد دجـ = أجـ، فإنّ:
    • أجـ×أجـ = (أب)² (ب جـ)²، ومنه: أ جـ² = (أ ب)² (ب جـ)²........(نظرية فيثاغورس).

• الطريقة الثالثة: هي إثبات غارفيلد (Garfield's) وهو الرئيس العشرون للولايات المتحدة حيث أثبت نظرية فيثاغورس باستخدام مساحة شبه المنحرف، وذلك كما يلي:^[٥]
  • تم إحضار شبه منحرف (أب جـ د) قائم في جـ ، ب، وقاعدتاه (أب) =أ، (ج د) = ب، وارتفاعه (ب ج)= (أ ب)، وتم تقسيمه إلى ثلاثة مثلثات بوضع النقطة (و) على الخط الممثّل للارتفاع؛ بحيث انقسم الارتفاع إلى (ب و) = ب، (و جـ) = أ، وكان المثلث الأول هو (أب و)، أما المثلث الثاني فهو: (و جـ د)، وأضلاع كل منهما هي: أ، ب، جـ، أما المثلث الثالث (أود) فهو متساوي الساقين، وطول كل ساق من ساقيه = جـ، وقائم الزاوية في و.
  • مساحة شبه المنحرف = (1/2)×مجموع طول القاعدتين×الارتفاع؛ وبما أنّ الارتفاع = أ ب، وطول القاعدة الأولى = أ، وطول القاعدة الثانية = ب، فإنّ مساحة شبه المنحرف = (1/2)×(أ ب)×(أ ب) = (1/2)×(أ² 2×أ×ب ب²).
  • يمكن إيجاد مساحة كل مثلث من المثلثات الثلاثة كما يلي:
    • مساحة المثلث الأول = مساحة المثلث الثاني = (1/2)×أ×ب.
    • مساحة المثلث الثالث = (1/2)×جـ×جـ.
  • مساحة شبه المنحرف = مساحة المثلث الأول مساحة المثلث الثاني مساحة المثلث الثالث، وبالتالي:
    • (1/2) × (أ² 2×أ×ب ب²) = (1/2)×أ×ب (1/2)×أ×ب (1/2)×جـ²، وبتبسيط هذه المعادلة نتوصل إلى نظرية فيثاغورس، وهي: أ² ب² = جـ².

أمثلة متنوعة حول نظرية فيثاغورس

• المثال الأول: مثلث أطوال أضلاعه: 5، 12، 13، فهل هو مثلث قائم أم لا؟^[٦]
  • الحل:
  • يمكن باستخدام نظرية فيثاغورس التحقّق من إذا كان المثلث قائماً أم لا؛ حيث تنص نظرية فيثاغورس على أن مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين، وبالتالي:
    • 13² هل تساوي 12² 5²؛ تم افتراض أنّ الضلع 13 هو الوتر، وذلك لأنّ الوتر يكون أطول ضلع في المثلث.
    • 169 هل تساوي 144 25، وبحساب الطرفين ينتج أنّ: 169 = 169 وهذا يعني أن هذا المثلث قائم الزاوية.

• المثال الثاني: مثلث قائم الزاوية الوتر فيه يساوي 17 سم، وطول أحد أضلاعه 15سم، وطول الضلع الآخر س، فما هو طول الضلع س؟^[٦]
  • الحل:
  • يمكن باستخدام نظرية فيثاغورس إيجاد طول الضلع المجهول، وذلك كما يلي: الوتر² = طول الضلع الأول² طول الضلع الثاني²، وبالتالي:
    • 17² = 15² س²، ومنه: 289 = 225 س²، س² = 289 - 225 = 64.
    • س = 64√ = 8سم، وهذا يعني أن طول الضلع الثاني للمثلث يساوي 8سم.

• المثال الثالث: مثلث أ ب جـ قائم الزاوية فيه طول الوتر (جـ) يساوي 10 سم، وطول أحد ضلعي القائمة (ب) يساوي 9 سم، فما هو طول الضلع الثالث (أ)؟^[٧]
  • الحل:
  • باستخدام نظرية فيثاغورس فإنّ: الوتر² = طول الضلع الأول² طول الضلع الثاني²، وبالتالي فإن:
    • 10² = 9² أ²، 100=81 أ²، أ² = 100-81 = 9، وبالتالي فإنّ طول الضلع الثالث (أ) = 3سم.

• المثال الرابع: سلّم إطفاء طوله 41 قدم يرتكز على إحدى البنايات، ويبتعد أسفله عن قاعدتها بمقدار 9 أقدام، فما هو طول البناية؟^[٨]
  • الحل:
  • يصنع السلم مع قمة البناية مثلثاً قائم الزاوية الوتر فيه هو طول السلم، وارتفاع البناية، والبعد الأفقي لطرف السلم السفلي عن قاعدة البناية هما ضلعا القائمة، وبالتالي فإنّه يمكن باستخدام نظرية فيثاغورس إيجاد ارتفاع البناية، وذلك كما يلي:
    • طول السلم² = ارتفاع البناية² بعد السلم الأفقي عن البناية²، ومنه:
    • 41² = ارتفاع البناية² 9²، ومنه: 1681 = 81 ارتفاع البناية²، ارتفاع البناية² = 1681 - 81 = 1600، وبالتالي فإن ارتفاع البناية = 40 قدم.

• المثال الخامس: انطلق أحمد، وصديقه خالد على دراجة هوائية من نفس الموقع فإذا تحرّك أحمد باتجاه الشمال، وتحرك خالد باتجاه الشرق بالسرعة ذاتها، فما هي السرعة التي تحركا بها بوحدة (كم/ساعة) علماً أن المسافة بينهما هي: 2√17 كم بعد مرور ساعتين من انطلاقهما؟^[٩]
  • الحل:
  • يُلاحظ أن حركتي أحمد، وخالد تُشكلان معاً مثلثاً قائم الزاوية: الوتر فيه يساوي 2√17 كم، والمسافة التي قطعها كلُّ منهما تشكل ضلعي القائمة (س)، وبما أنّ السرعة = المسافة/الزمن، فإنه يجب لحساب السرعة إيجاد طول ضلعي القائمة أولاً، وذلك كما يلي:
    • باستخدام نظرية فيثاغورس فإنّ: (2√17)² = س² س²، ومنه: (2√17)² = 2س².
    • بقسمة الطرفين على 2، وإيجاد الجذر التربيعي للطرفين فإن س = 17 كم.
  • وبالتالي فإن المسافة التي قطعها كل منها تساوي 17 كيلومتر خلال مدة ساعتين، وبالتالي:
    • السرعة = المسافة/الزمن = 17/2 = 8.5كم/الساعة.

المراجع

1. ↑ "Pythagorean Theorem", jwilson.coe.uga.edu, Retrieved 3-8-2020. Edited.
2. ↑ "Pythagoras' Theorem", www.mathsisfun.com, Retrieved 3-8-2020. Edited.
3. ↑ "Pythagoras Theorem", byjus.com, Retrieved 3-8-2020. Edited.
4. ↑ "Proof of Pythagorean Theorem", www.math-only-math.com, Retrieved 3-8-2020. Edited.
5. ↑ "Pythagorean Theorem", jwilson.coe.uga.edu, Retrieved 3-8-2020. Edited.
6. ^ ^{أ ب} "Pythagoras Theorem", byjus.com, Retrieved 3-8-2020. Edited.
7. ↑ "Geometry: Pythagorean Theorem", www.onlinemathlearning.com, Retrieved 3-8-2020. Edited.
8. ↑ "Pythagorean Theorem", tutors.com, Retrieved 3-8-2020. Edited.
9. ↑ "Pythagorean Theorem Word Problems", www.onlinemathlearning.com, Retrieved 3-8-2020. Edited.