طريقة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر

نظرة عامة حول المضاعف المشترك الأصغر

يُمكن تعريف مضاعف العدد (بالإنجليزية: Multiple) بأنه العدد الذي ينتج عن ضرب عدد معيّن في عدد آخر لا يساوي صفراً؛ فمثلاً مضاعفات العدد 5 هي: 5،10،15،20.....، وهي الأعداد التي تنتج عن ضرب العدد (5) بالأعداد: 1، 2، 3، 4، .....، أما المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ) (بالإنجليزية: Least Common Multiple)  بين مجموعة من الأعداد فهو أصغر عدد أو مضاعف مشترك بينهما، والمثال الآتي يوضّح ذلك:[١]

• المضاعف المشترك الأصغر بين العددين 4، و5 هو كما يلي:
  • مضاعفات العدد 4 هي: 4، 8، 12، 16، 20، 24، 28، 32 ،36، 40، 44، .............
  • مضاعفات العدد 5 هي: 5، 10، 15، 20، 25، 30، 35، 40، 45، .......................
  • يلاحظ أن المضاعفات المشتركة بين العددين في القائمة السابقة هي: 20، و44.
  • أصغر مضاعف مشترك بينهما هو العدد: 20، وبالتالي فإنه يُعتبر المضاعف المشترك الأصغر بين 4، و5.

ملاحظة: يمكن كذلك إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بين ثلاثة أعداد، أو أكثر.

طريقة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر

• الطريقة التقليدية: تعتبر هذه الطريقة من الطرق القديمة والبدائية، ويتم فيها العثور على المضاعف المشترك الأصغر عن طريق كتابة مضاعفات كل عدد من الأعداد على حدة على شكل قائمة، ثم إيجاد أصغر مضاعف مشترك بينها، ويصعب عادة إجراء هذه الطريقة إلا في حال كانت الأعداد صغيرة؛ فمثلاً لإيجاد المضاعف المشترك الأضغر بين العددين 4، و6، يجب أولاً كتابة مضاعفات كل عدد على حدة حتى العثور على أصغر مضاعف مشترك بينهما، والمثال الآتي يوضّح ذلك:^[٢]
  • مضاعفات العدد 4: 4، 8، 12، 16، ............
  • مضاعفات العدد 6: 6، 12، 18، ...........
  • وبالتالي فإن المضاعف المشترك الأصغر بين العددين 6، و4 هو 12.

• باستخدام التحليل إلى العوامل: في هذه الطريقة يتم تحليل كل عدد إلى عوامله الأولية، ثم الأخذ بالاعتبار عدد المرات التي تكرر فيها كل عامل؛ وذلك كما يلي:^[٣]
  • لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر بين الأعداد 16، 25، 60 باستخدام طريقة التحليل إلى العومل يجب اتباع ما يلي:
    • تحليل كل عدد إلى عوامله:
      • عوامل العدد 16: 2×2×2×2 = 2⁴.
      • عوامل العدد 25 : 5×5 = 5².
      • عوامل العدد 60: 2×2×3×5 = 2²×3×5 .
    • نلاحظ أن أكثر مرات تكرر فيها العدد 2 هو 4 مرات؛ أي أنه ظهر مرفوعاً للأس (4)، وظهر مرفوعاً للأس 2، والأكبر بينهما هو الأس (4) لذلك يجب أخذ العدد 2 مرفوعاً للأس (4)، ووضعه جانباً لحساب المضاعف المشترك الأصغر.
    • أكثر مرات تكرر فيها العدد 5 هو مرتين؛ أي أنه ظهر مرفوعاً للأس (2)، كما ظهر مرفوعاً للأس (1)؛ والأكبر بينهما هو الأس (2)؛ لذلك يجب أخذ العدد 5 مرفوعاً للأس (2)، ووضعه جانباً لحساب المضاعف المشترك الأصغر.
    • العدد 3 لم يظهر متكرراً أكثر من مرة واحدة، لذلك يجب أخذ العدد 3 مرفوعاً للأس (1)، ووضعه جانباً لحساب المضاعف المشترك الأصغر.
    • وبالتالي فإن المضاعف المشترك الأصغر بين هذه الأعداد يساوي حاصل ضرب الأعداد التي تم وضعها جانباً: 5²×2⁴×3= 1200.

لمزيد من المعلومات حول التحليل إلى العوامل الأولية يمكنك قراءة المقال الآتي: تحليل العدد إلى عوامله الأولية .

• باستخدام القاسم المشترك الأكبر: يمكن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للعددين (أ، وب) مثلاً في حال معرفة القاسم المشترك الأكبر لهما باستخدام العلاقة الآتية:
  • المضاعف المشترك الأصغر بين (أ، ب) = (أ×ب)/ القاسم المشترك الأكبر بين (أ، ب)، والمثال الآتي يوضّح ذلك:^[٢]
    • إذا كان القاسم المشترك الأكبر بين العددين 4، و6 يساوي 2، فما هو المضاعف المشترك الأصغر بينهما؟
    • م.م.أ (4، 6) = (4×6)/2 = 24/2 = 12.

لمزيد من المعلومات حول القاسم المشترك الأكبر يمكنك قراءة المقال الآتي: كيفية إيجاد العامل المشترك الأكبر.

• الأعداد الأولية: إذا كان العددان (أ، وب) المُراد إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بينهما عددان أوليان فإن المضاعف المشترك الأصغر بينهما يساوي ببساطة حاصل ضرب العددين ببعضهما؛ أي أن: م.م.أ= أ×ب، فمثلاً المضاعف المشترك الأصغر بين العددين 11، و23 هو كما يلي: م.م.أ= 11×23= 253، ويمكن التحقق من هذه النتيجة عن طريق كتابة مضاعفات كل من العددين، وملاحظة أن أصغر مضاعف مشترك بينهما يساوي 253.^[٤]

لمزيد من المعلومات حول الأعداد الأولية يمكنك قراءة المقال الآتي: ما هي الأعداد الأولية.

أمثلة على حساب المضاعف المشترك الأصغر

الطريقة التقليدية

• المثال الأول: ما هو المضاعف المشترك الأصغر للعددين 4، و10؟^[١]
  • الحل:
  • كتابة مضاعفات كل عدد كما يلي:
    • مضاعفات العدد 4: 4، 8، 12، 16، 20، .....
    • مضاعفات العدد 10: 10، 20, ......
  • وبالتالي فإن المضاعف المشترك الأصغر لـ (4، 10) = 20.

• المثال الثاني: ما هو المضاعف المشترك الأصغر بين العددين 6، و15؟^[١]
  • الحل:
  • كتابة مضاعفات كل عدد كما يلي:
    • مضاعفات العدد 6: 6، 12، 18، 24، 30، ...........
    • مضاعفات العدد 15: 15، 30، ..............
  • وبالتالي فإن المضاعف المشترك الأصغر لـ (6، 15) = 30.

• المثال الثالث: ما هو المضاعف المشترك الأصغر للأعداد 4، 6، 8؟^[١]
  • الحل:
  • كتابة مضاعفات كل عدد كما يلي:
    • مضاعفات العدد 4: 4، 8، 12، 16، 20، 24، 28، .......
    • مضاعفات العدد 6: 6، 12، 18، 24، 30، 36، ...
    • مضاعفات العدد 8: 8، 16، 24، 32، 40, ....
  • وبالتالي فإن المضاعف المشترك الأصغر لـ (4، 6، 8) يساوي 24.

• المثال الرابع: ما هو المضاعف المشترك الأصغر بين هذه الأعداد 8، 12، 16؟^[٥]
  • الحل:
  • كتابة مضاعفات كل عدد كما يلي:
    • مضاعفات العدد 8: 8، 16، 24، 32، 40، 48، 56,...
    • مضاعفات العدد 12: 12، 24، 36، 48، 60، 72، 84، ...
    • مضاعفات العدد 16: 16، 32، 48، 64، 80، 96، 112، ...
  • وبالتالي فإن المضاعف المشترك الأصغر لـ (8، 12، 16) يساوي 48.

• المثال الخامس: ما هو المضاعف المشترك الأصغر بين العددين 3، 8؟^[٦]
  • الحل:
  • كتابة مضاعفات كل عدد كما يلي:
    • مضاعفات العدد 3: 3، 6، 9، 12، 15، 18، 21، 24، .....
    • مضاعفات العدد 8: 8، 16، 24، 32، 40، ......
  • وبالتالي فإن المضاعف المشترك الأصغر لـ (3، 8) = 24.

• المثال السادس: ما هو المضاعف المشترك الأصغر للأعداد 6، 15، 20؟^[٦]
  • الحل:
  • كتابة مضاعفات كل عدد كما يلي:
    • مضاعفات العدد 6: 6، 12، 18، 24، 30 ،36، 42، 48، 60، .....
    • مضاعفات العدد 15: 15، 30، 45، 60، ....
    • مضاعفات العدد 20: 20، 40، 60، 80، .....
  • وبالتالي فإن المضاعف المشترك الأصغر لـ (6، 12، 15) = 60.

التحليل إلى العوامل

• المثال الأول: جِد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد 8، 12، 15 باستخدام طريقة التحليل إلى العوامل؟^[٢]
  • الحل:
  • تحليل كل عدد إلى عوامله الأولية:
    • عوامل العدد 8: 2×2×2 = 2³.
    • عومل العدد 12: 2×2×3 = 2²×3.
    • عوامل العدد 15: 3×5.
  • المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد = 2³ ×3×5 = 120؛ وذلك لأن أكبر تكرار للعدد 2 هو ثلاث مرات، وأكبر تكرار للعدد 3 هو مرة واحدة، وأكبر تكرار للعدد 5 هو مرة واحدة.

• المثال الثاني: جِد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد 12، 16، 24 باستخدام طريقة التحليل إلى العوامل؟^[٥]
  • الحل:
  • تحليل كل عدد إلى عوامله الأولية:
    • عوامل العدد 12: 2×2×3 = 2²×3.
    • عوامل العدد 16: 2×2×2×2 = 2⁴.
    • عوامل العدد 24: 2×2×2×3 = 2³×3.
  • المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد = 2⁴× 3 = 48؛ وذلك لأن أكبر تكرار للعدد 2 هو أربع مرات، وأكبر تكرار للعدد 3 هو مرة واحدة.

• المثال الثالث: جِد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد 3، 9، 21 باستخدام طريقة التحليل إلى العوامل؟^[٧]
  • الحل:
  • تحليل كل عدد إلى عوامله الأولية:
    • عوامل العدد 3: 3×1.
    • عومل العدد 9: 3×3 = 3².
    • عومل العدد 21: 3×7.
  • يلاحظ أن العدد 3 تكرر مرتين، والعدد 7 تكرر مرة واحدة، وبالتالي فإن المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد = 7ײ3= 63، وهذا يعني أن أصغر عدد يمكن له القسمة على الأعداد الثلاثة السابقة دون باقٍ يساوي 63.

• المثال الرابع: جِد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 12، 80 باستخدام طريقة التحليل إلى العوامل؟^[٧]
  • الحل:
  • تحليل كل عدد إلى عوامله الأولية:
    • عوامل العدد 12: 2×2×3 = 2²×3.
    • عوامل العدد 80: 2×2×2×2×5 = 2⁴× 5.
  • المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد = 2⁴×5×3 =240؛ وذلك لأن أكبر تكرار للعدد 2 هو أربع مرات، وأكبر تكرار للعدد 5 هو مرة واحدة، وأكبر تكرار للعدد 3 هو مرة واحدة.

القاسم المشترك الأكبر

• المثال الأول: إذا كان القاسم المشترك الأكبر للعددين 12، و16 يساوي 4، فما هو المضاعف المشترك الأصغر بينهما؟^[٨]
  • الحل: بتطبيق القاعدة المضاعف المشترك الأصغر بين (أ، ب) = (أ×ب)/ القاسم المشترك الأكبر بين (أ، ب)، فإن:
    • م.م.أ (12، 16) = (12×16)/4 = 192/4= 48.

• المثال الثاني: جِد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 63، و84 باستخدام طريقة القاسم المشترك الأكبر؟^[٨]
  • الحل:
  • الخطوة الأولى هي إيجاد القاسم المشترك الأكبر للعددين 63، و84 كما يلي:
    • إيجاد عوامل كل من العددين، والقاسم المشترك الأكبر يمثل أكبر عامل مشترك بينهما.
      • عوامل العدد 63: 1، 3، 7، 9، 21، 63.
      • عوامل العدد 84: 1، 2، 3، 4، 6، 7، 12، 14، 21، 28، 42، 84.
    • وبالتالي القاسم المشترك الأكبر بين العددين (63، 84) = 21.
  • الخطوة الثانية هي إيجاد المضاعف المشترك الأصغر كما يلي:
    • المضاعف المشترك الأصغر بين (أ، ب) = (أ×ب)/ القاسم المشترك الأكبر بين (أ، ب)، فإن:
    • م.م.أ (63، 84) = (63×84)/21 = 5292/4= 252.

لمزيد من المعلومات حول مضاعفات الأعداد يمكنك قراءة المقال الآتي: ما هي مضاعفات العدد 10 .

المراجع

1. ^ ^{أ ب ت ث} "Least Common Multiple", www.mathsisfun.com, Retrieved 23-4-2020. Edited.
2. ^ ^{أ ب ت} "Least common multiple", artofproblemsolving.com, Retrieved 23-4-2020. Edited.
3. ↑ "Least Common Multiples (LCMs)", www.varsitytutors.com, Retrieved 23-4-2020. Edited.
4. ↑ "Finding the Least Common Multiple using the List Method", www.chilimath.com, Retrieved 23-4-2020. Edited.
5. ^ ^{أ ب} "Method of L.C.M.", www.math-only-math.com, Retrieved 23-4-2020. Edited.
6. ^ ^{أ ب} "What is the lowest common multiple?", www.theschoolrun.com, Retrieved 23-4-2020. Edited.
7. ^ ^{أ ب} "Least common multiple (LCM)", www.math.com, Retrieved 23-4-2020. Edited.
8. ^ ^{أ ب} "The Product of the GCF and LCM of Two Integers", www.chilimath.com, Retrieved 23-4-2020. Edited.