ترتيب العمليات الحسابية

نظرة عامة حول العمليات الحسابية

يمكن تعريف العمليات الحسابية بأنها عمليات الجمع، والطرح، والضرب، والقسمة التي يتم تطبيقها على الأرقام؛ بحيث تعطي معنى رياضي،^[١] ولهذه العمليات رموز خاص تدل على حدوثها، وفيما يلي توضيح لهذه الرموز:^[٢]

• : تدل على عملية الجمع.
• -: تدل على عملية الطرح.
• ×: تدل على عملية الضرب.
• ÷: تدل على عملية القسمة.

لمزيد من المعلوات حول العمليات الحسابية يمكنك قراءة المقالات الآتية: مفهوم عملية الضرب، مفهوم الطرح في الرياضيات، طريقة سهلة للقسمة، خصائص الجمع.

طرق ترتيب العمليات الحسابية

يمكن توضيح كيفية ترتيب العمليات الحسابية بالاستعانة بالمثال الآتي؛ فمثلاً عند النظر إلى هذه المسألة (3 52×6) 7 فإن الشخص قد يتساءل عن العمليّة الحسابيّة التي يجب عليه أن يبدأ بها؛ حيث يؤدي البدء في هذه المسألة بطريقة خاطئة وبترتيب غير صحيح إلى الحصول على إجابة خاطئة، وبالتالي فإنّ هناك مجموعة من القوانين التي تم وضعها والتي يجب اتباعها عند إجراء العمليات الحسابية للحصول على الناتج الصحيح، وتُعرف هذه القوانين بأولويات العمليات الحسابية، وهي:^[١]

• الأولوية أولاً للأقواس: فمثلاً عند حل هذه المسألة الرياضية: 4×(5 3)؛ فإنّ الناتج عند:
  • البدء بما في الأقواس كما يلي: 4×(5 3) = 4×8 = 32 (حل صحيح).
  • عدم البدء بما في الأقواس كما يلي: 4×(5 3) = 20 3 = 23 (حل خاطئ).

• الأولوية الثانية للأسس، والجذور التربيعية: فمثلاً عند حل هذه المسألة الرياضية: 5×2²؛ فإن الناتج عند:
  • البدء بحل الأس التربيعي كما يلي: 5×2² = 5×4 = 20 (حل صحيح).
  • عدم البدء بحل الأس التربيعي كما يلي: 5×2² = 10² = 100 (حل خاطئ).

• الأولوية الثالثة للضرب، والقسمة: فمثلاً عند حل هذه المسألة الرياضية 3×5 2؛ فإنّ الناتج عند:
• البدء بالضرب كما يلي: 3×5 2 = 15 2 = 17 (حل صحيح).
• البدء بالجمع كما يلي: 3×5 2 = 3×7 = 21 (حل خاطئ).

• الأولوية الرابعة للجمع والطرح: وذلك في حال التخلص من كل العمليات السابقة وعدم بقاء إلا الطرح والجمع:^[١]

• ملاحظات حول ترتيب العمليات الحسابية:
  • في حالة تكافؤ العمليات الحسابية في المسألة بالأولوية؛ أي احتواء المسألة على عمليتي ضرب، أو عملية قسمة وضرب مثلاً، أو عمليتي جمع وطرح أو أكثر، فإنّ الحل يكون بالبدء من اليمين إلى اليسار باللغة العربية، ومن اليسار لليمين باللغة الإنجليزية؛ فمثلاً عند حل المسألة الرياضية الآتية: 30÷5×3 فإن الناتج يكون عند:
    • البدء باليمين كما يلي: 30÷5×3 = 6×3 = 18 (حل صحيح)
    • البدء باليسار كما يلي: 30÷5×3 = 30÷15 = 2 (حل خاطئ)
  • في حال احتواء المسألة الرياضية على أكثر من أس؛ أي رفع نفس العدد لأسين، فإن الحل يتم بالبدء من الأعلى للأسفل؛ مثل 4³²؛ أي (4³) مرفوعة للقوة 2، فيتم حلها كما يلي:
    • حساب أولاً: 3² = 9؛ أي تصبح المسألة: 4⁹ = 4×4×4×4×4×4×4×4×4، وبالتالي فإن النتيجة النهائية تساوي 262144

أمثلة متنوعة حول ترتيب العمليات الحسابية

• المثال الأول: ما هو ناتج العملية الحسابية الآتية: 12÷6×3÷2؟^[١]
  • الحل: بما أن القسمة والضرب متكافئتان بالأولوية؛ فإن الحل يكون بإيجاد الناتج من اليمين لليسار، وذلك كما يلي:
    • 12/6 = 2، ثم: 2×3 = 6، ثم 6/2 = 3، وبالتالي فإن الناتج = 3.
    • أي أن العملية تمت كما يلي: 12÷6×3÷2 = 2×3÷2 = 6÷2 =3.

• المثال الثاني: ما هو حل المسألة الآتية: 4 3²؟^[٣]
  • الحل:
  • الأولوية للأسس أولاً، وبالتالي فإن: المسألة تحلّ كما يلي: 3² = 9 ثم 4 9 = 13.
  • أي أن العملية تمت كما يلي: 4 3² = 4 9 =13.

• المثال الثالث: ما هو حل المسألة الرياضية الآتية: 4 (-1×(-2-1))²؟^[٣]
  • الحل:
  • الأولوية للقوس أولاً، وفي حالة وجود قوسين كما في المثال نبدأ بالقوس الداخلي ثم الخارجي وبالتالي تصبح المسألة: 4 (-1×(-3))²، ثم 4 (3)².
  • ثم الاولوية للأس التربيعي كما يلي: 4 9، ثم وفي النهاية يتم إيجاد ناتج الجمع، ويساوي 13.
  • أي أن العملية تمت كما يلي: 4 (-1×(-2-1))² = 4 (-1×(-3))² = 4 (3)² = 4 9 = 13.

• المثال الرابع: ما هو حل المسألة الآتية: 16-3×(8-3)² ÷5؟^[٣]
  • الحل:
  • الأولوية أولاً للقوس: 16-3×(5)² ÷5 ، ثم للأس: 16-3×25÷5، ثم للضرب والقسمة من اليمين لليسار: 16-75÷5، ثم لعملية القسمة: 16-15، ثم لعملية الطرح: 1.
  • أي أن العملية تمت كما يلي: 16-3×(8-3)² ÷5 = 16-3×(5)²÷5 = 16-3×25÷5 = 16-75÷5 = 16-15 =1.

• المثال الخامس: ما هو ناتج المسألة الرياضية الآتية: 6×3 4×(9÷3)؟^[٤]
  • الحل:
  • الأولوية للأقواس أولاً: 6×3 4×3، ثم الأولوية للضرب من اليمين: 18 4×3، ثم الأولوية للضرب ثم الجمع: 18 12 = 30.
  • أي أن العملية تمت كما يلي: 6×3 4×(9÷3) = 6×3 4×3 = 18 3×4 = 30.

• المثال السادس: ما هو حل المسألة الرياضية الآتية: 3 6×(5 4)÷3-7؟^[٥]
  • الحل:
  • الأولوية للأقواس أولاً: 3 6×9÷3-7، ثم الأولوية للضرب والقسمة من اليمين لليسار: 3 54÷3-7، 3 18-7، ثم الأولوية للجمع، والطرح من اليمين لليسار: 21 - 7 = 14
  • أي أن العملية تمت كما يلي: 3 6×(5 4)÷3-7 = 3 6×9÷3-7 =3 54÷3-7 = 3 18-7 = 21-7 =14.

• المثال السابع: ما هو حل المسألة الرياضية الآتية: 9-5÷(8-3)×2 6؟^[٥]
  • الحل:
  • الأولوية للأقواس أولاً: 9-5÷5×2 6، ثم للقسمة والضرب من اليمين لليسار: 9-1×2 6 = 9-2 6، ثم للجمع والطرح من اليمين لليسار: 7 6 = 13.
  • أي أن العملية تمت كما يلي: 9-5÷(8-3)×2 6 = 9-5÷5×2 6 = 9-1×2 6 = 9-2 6 = 7 6 = 13.

• المثال الثامن: ما هو حل المسألة الرياضية الآتية: 4- 3×(20-3×4-(2 4))÷2؟^[٦]
  • الحل:
  • الأولوية للقوس الداخلي: 4- 3×(20-3×4-6)÷2، ثم الأولوية للضرب داخل القوس الخارجي: 4-3×(20-12-6)÷2، ثم الأولوية للطرح داخل القوس من اليمين: 4-3×(8-6)÷2 = 4-3×2÷2، ثم الأولوية للضرب والقسمة من اليمين لليسار: 4-6÷2 = 4-3، ثم الأولوية للطرح: 4-3 = 1.
  • أي أن العملية تمت كما يلي: 4- 3×(20-3×4-(2 4))÷2 = 4-3×(20-3×4-6)÷2 = 4-3×(20-12-6)÷2 = 4-3×(8-6)÷2 = 4-3×2÷2 = 4-6÷2 = 4-3 =1.

• المثال التاسع: ما هو حل المسالة الرياضية الآتية: 20-(3×2³-5)؟^[٧]
  • الحل:
  • أولاً يتم حل ما داخل القوس، وداخل القوس الأولوية للأسس، وبالتالي تصبح المسألة: 20-(3×8-5)، ثم الأولوية للضرب داخل القوس: 20-(24-5)، ثم الأولوية للطرح داخل القوس: 20-19 = 1
  • أي أن العملية تمت كما يلي: 20-(3×2³-5) = 20-(3×8-5) = 20-(24-5) = 20-19 = 1.

• المثال العاشر: ما هو حل المسألة الرياضية الآتية: (5 2)²-9×3 2³؟^[٧]
  • الحل:
  • الأولوية للقوس أولاً: 7²-9×3 2³، ثم الأولوية للأسس من اليمين لليسار: 49-9×3 8، ثم للضرب: 49-27 8، ثم للجمع، والطرح من اليمين لليسار: 22 8 = 30
  • أي أن العملية تمت كما يلي: (5 2)²-9×3 2³ = 49-9×3 2³ = 49-27 8 = 22 8 =30.

• المثال الحادي عشر: ما هو حل المسألة الرياضية الآتية: (5²-5)÷(4² 8-7×2)؟^[٧]
  • الحل:
  • نبدأ بالأسس داخل القوس الأول من اليمين كما يلي: (25-5)÷(²4 8-7×2)، ثم الطرح داخل القوس الأول: 20÷(4² 8-7×2)، ثم الأسس داخل القوس الثاني: 20÷(16 8-7×2)، ثم الضرب داخل القوس الثاني: 20÷(16 8-14)، ثم الجمع والطرح داخل القوس الثاني من اليمين لليسار: 20÷(24-14) = 20÷10=2.
  • أي أن العملية تمت كما يلي: (5²-5)÷(4² 8-7×2) = (25-5)÷(4² 8-7×2) = 20÷(4² 8-7×2) = 20÷(16 8-7×2) = 20÷(16 8-14) = 20÷(16 8-14) = 20÷(24-14) = 20÷10 = 2.

• المثال الثاني عشر: ما هو حل المسألة الرياضية الآتية: (7-9√)×(4²-3 1)؟^[٧]
  • الحل:
  • نبدأ بالجذر التربيعي داخل القوس الأول من اليمين: (7-3)×(4²-3 1)، ثم الطرح داخل القوس الأول: 4×(4²-3 1)، ثم الأس التربيعي داخل القوس الثاني: 4×(16-3 1)، ثم قيمة الطرح والجمع داخل القوس الثاني: 4×(13 1) = 4×14= 56.
  • أي أن العملية تمت كما يلي: (7-9√)×(4²-3 1) = (7-3)×(4²-3 1) = 4×(4²-3 1) = 4×(16-3 1) = 4×(13 1) = 4×14 = 56.

المراجع

1. ^ ^{أ ب ت ث} "Order of Operations", www.mathsisfun.com, Retrieved 28-5-2020. Edited.
2. ↑ "Operation - Definition with Examples", www.splashlearn.com, Retrieved 28-5-2020. Edited.
3. ^ ^{أ ب ت} "The Order of Operations: PEMDAS", www.purplemath.com, Retrieved 28-5-2020. Edited.
4. ↑ "Order Of Operations - Definition with Examples", www.splashlearn.com, Retrieved 28-5-2020. Edited.
5. ^ ^{أ ب} "Order of Operations", www.mathgoodies.com, Retrieved 28-5-2020. Edited.
6. ↑ "Order of Operations", www.montereyinstitute.org, Retrieved 28-5-2020. Edited.
7. ^ ^{أ ب ت ث} "order of operations", www.mathopolis.com, Retrieved 29-5-2020. Edited.