قانون مساحة متوازي الأضلاع

كتابة - آخر تحديث: ١٢:٢٧ ، ٢٥ مارس ٢٠٢٠
قانون مساحة متوازي الأضلاع

نظرة عامة حول مساحة متوازي الأضلاع

يتميز متوازي الأضلاع بأنه يحتوي على أربعة أضلاع، وكل ضلعين متقابلين منهما متوازيان، ومتساويان في الطول، ويمكن تعريف المساحة بشكل عام بأنها كمية الفراغ الموجودة داخل الشكل ثنائي الأبعاد، وكلذلك الحال بالنسبة لمساحة متوازي الأضلاع (بالإنجليزية: Area of Parallelogram) التي يمكن حسابها ببساطة من خلال ضرب طول قاعدته بارتفاعه.[١]


لمعرفة المزيد عن محيط متوازي الأضلاع يمكنك قراءة المقال الآتي: ما محيط متوازي الاضلاع.


قوانين حساب مساحة متوازي الأضلاع

يمكن إيجاد مساحة متوازي الأضلاع من خلال استخدام أحد القوانين الآتية:

  • باستخدام طول القاعدة، والارتفاع، وذلك كما يأتي:[٢]
    • مساحة متوازي الاضلاع= طول القاعدة×الارتفاع، وبالرموز: م=ب×ع؛ حيث:
      • ب: طول قاعدة متوازي الأضلاع.
      • ع: ارتفاع متوازي الأضلاع.
    • فمثلاً لو كان هناك متوازي أضلاع طول قاعدته 5سم، وارتفاعه 3سم، فإن مساحته وفق القانون السابق هي: مساحة متوازي الأضلاع = طول القاعدة × الارتفاع= 5×3=15سم².
  • باستخدام طول ضلعين، والزاوية المحصورة بينهما، وذلك كما يأتي:
    • مساحة متوازي الأضلاع= طول القاعدة×طول الضلع الجانبي×جا الزاوية المحصورة بينهما، وبالرموز: م=أ×ب×جا(س)؛ حيث:
      • أ: طول الضلع الجانبي لمتوازي الأضلاع.
      • ب: طول قاعدة موازي الأضلاع.
      • س: الزاوية المحصورة بين القاعدة والضلع الجانبي.
      • م: مساحة متوازي الأضلاع.
    • فمثلاً لو كان هناك متوازي اضلاع طول أحد أضلاعه 3سم، والضلع الآخر 4سم، وقياس جميع زواياه 90 درجة، فإن مساحته وفق القانون السابق هي: مساحة متوازي الأضلاع = طول القاعدة×طول الضلع الجانبي×جا الزاوية المحصورة بينهما=3×4×جا(90)= 12سم².
  • باستخدام طول الأقطار، والزاوية المحصورة بينهما: لمتوازي الأضلاع قطران يتقاطعان ليشكلا بينهما زاوية مقدارها (ص)، وأخرى مقدارها (ع)، ولحساب مساحة متوازي الاضلاع باستخدام طول الاقطار يتم استخدام القانون الآتي:[٢]
    • مساحة متوازي الأضلاع =½ × طول القطر الأول× طول القطر الثاني×جا(الزاوية المحصورة بينهما)، وبالرموز: م=½ × ق× ل×جا(ص أو ع)؛ حيث:
      • م: مساحة متوازي الأضلاع.
      • ق: طول القطر الأول.
      • ل: طول القطر الثاني.
      • ص، ع: الزوايا المحصورة بين القطرين.


لمعرفة المزيد عن متوازي الأضلاع يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون متوازي الأضلاع.


أمثلة على حساب مساحة متوازي الأضلاع

  • المثال الأول: متوازي أضلاع طول قاعدته 1.5سم، وارتفاعه 1سم، فما هي مساحته؟[٣]
    • الحل: بتطبيق قانون مساحة متوازي الأضلاع = طول القاعدة×الارتفاع، ينتج أن: مساحة متوازي الأضلاع= 1.5×1= 1.5سم².


  • المثال الثاني: متوازي أضلاع طول قاعدته 2س، وارتفاعه س²، ما هي مساحته؟[٣]
    • الحل: بتطبيق قانون مساحة متوازي الأضلاع = طول القاعدة×الارتفاع، ينتج أن: مساحة متوازي الأضلاع= 2س×س=2س³ سم².


  • المثال الثالث: متوازي مستطيلات أب ج د، قاعدته (ب ج) تساوي 22سم، فيه العمود (دو) ساقط من الزاوية د نحو القاعدة (ب ج)، وطول (وج) يساوي 12سم، والضلع (ج د) 18سم، جد مساحته.[٤]
    • الحل: لحل هذا السؤال يتم اتباع الخطوات الآتية:
    • حساب الارتفاع لتطبيق قانون مساحة متوازي الأضلاع الذي يساوي طول القاعدة×الارتفاع باستخدام نظرية فيثاغورس الذي ينص على أن: (الوتر (ج د))²= (الضلع الأول (دو))² (الضلع الثاني (وج))²، وبالتالي فإن 18²=(الضلع الأول (دو))² 12²، ومنه (دو) وهو الارتفاع= 180√سم.
    • تطبيق قانون المساحة: مساحة متوازي الأضلاع= طول القاعدة×الارتفاع= 22×180√= 295.1سم.
    • يمكن كذلك حل السؤال بطريقة أخرى: تتمثّل بحساب الزاوية المحصورة بين القاعدة والضلع الجانبي، عن طريق استخدام قانون جيب تمام الزاوية، وهو جتا (س)=المجاور/الوتر، ومنه: جتا(س)=12/18=0.666، ومنه س=48.18درجة، ثم تطبيق قانون: مساحة متوازي الأضلاع= طول القاعدة×طول الضلع الجانبي×جا الزاوية المحصورة بينهما=22×18×جا(48.18)=295.1سم


  • المثال الرابع: متوازي أضلاع مساحته 6 وحدات مربعة، وطول قاعدته س، وارتفاعه س 1، فما هو طول قاعدته، وارتفاعه؟[٥]
    • الحل: بتطبيق قانون مساحة متوازي الأضلاع = طول القاعدة×الارتفاع، ينتج أن: 6=(س)(س 1)، ومنه 6 = س² س، وبحل هذه المعادلة، وإيجاد قيمة س،عن طريق تحليلها إلى (س - 2)(س 3) = 6، فإن قيم س تساوي س=2، وس=-3، وباستبعاد القيمة السالبة ينتج أن طول القاعدة= 2سم، أما الارتفاع فيساوي س 1=2 1=3سم.


  • المثال الخامس: ما هي مساحة متوازي الأضلاع الذي طول قاعدته 8سم، وارتفاعه 11سم؟[٢]
    • الحل: بتطبيق قانون مساحة متوازي الأضلاع = طول القاعدة×الارتفاع، ينتج أن: مساحة متوازي الأضلاع = 11×8= 88سم².


  • المثال السادس: إذا كانت طول قاعدة متوازي الاضلاع يعادل 3 أضعاف ارتفاعه، ومساحته 192سم²، فما هو طول قاعدته، وارتفاعه؟[٢]
    • الحل: باستخدام قانون مساحة متوازي الأضلاع = طول القاعدة×الارتفاع، وافتراض أن طول القاعدة هو س، والارتفاع هو 3س، ينتج أن: مساحة متوازي الأضلاع=3س×س=192، ومنه س=8سم، وهو طول القاعدة، أما الارتفاع فهو 3س=3×8=24سم².


  • المثال السابع: متوازي أضلاع أب ج د، قاعدته (ب ج) تساوي 15سم، فيه العمود (دو) ساقط من الزاوية د نحو القاعدة (ب ج)، وطول (وج) يساوي 5سم، والضلع (ج د) 13سم، جد مساحته.[٦]
    • الحل: لحل هذا السؤال يتم اتباع الخطوات الآتية:
    • حساب الارتفاع لتطبيق قانون مساحة متوازي الأضلاع وهو مساحة متوازي الأضلاع= طول القاعدة×الارتفاع وذلك باستخدام نظرية فيثاغورس، وهي: (الوتر (ج د))²= (الضلع الأول (دو))² (الضلع الثاني (وج))²، وبالتالي فإن 13²=(الضلع الأول (دو))² 5²، ومنه (دو) وهو الارتفاع= 12سم.
    • تطبيق قانون المساحة: مساحة متوازي الأضلاع= طول القاعدة×الارتفاع= 15×12= 180سم.


  • المثال الثامن: متوازي أضلاع طول قاعدته 12سم، وطول ضلعه الجانبي 20سم، وقياس الزاوية المحصورة بين هذا الضلع والقاعدة= 60 درجة، احسب مساحته.[٧]
    • الحل: بتطبيق القانون: مساحة متوازي الأضلاع= طول القاعدة×طول الضلع الجانبي×جا الزاوية المحصورة بينهما= 12×20×جا(60)=207.8سم².


  • المثال التاسع: متوازي أضلاع أب ج د، قاعدته (ب ج) تساوي 23سم، فيه العمود (دو) ساقط من الزاوية د نحو القاعدة (ب ج)، وطول (وج) يساوي 5سم، والزاوية ج= 45 درجة، جد مساحته.[٨]
    • الحل:
    • حساب الارتفاع (دو) باستخدام قانون ظل الزاوية=المقابل/المجاور، ومنه ظا(45)=الارتفاع/5، ومنه الارتفاع=5سم.
    • تطبيق قانون المساحة: مساحة متوازي الأضلاع= طول القاعدة×الارتفاع=23×5= 115سم².


  • المثال العاشر: متوازي اضلاع مساحته 152سم²، وطول قاعدته 9سم، فما هو ارتفاعه؟[٩]
    • الحل: بتطبيق قانون مساحة متوازي الأضلاع = طول القاعدة×الارتفاع، ينتج أن: 152=9×الارتفاع، ومنه الارتفاع= 153/9=17سم.


  • المثال الحادي عشر: متوازي أضلاع أب ج د، قاعدته (ب ج) تساوي 21سم، فيه العمود (دو) ساقط من الزاوية د نحو القاعدة (ب ج)، وطول (وج) يساوي 8سم، والضلع (ج د)=17سم، جد مساحته.[١٠]
    • الحل: لحل هذا السؤال يتم اتباع الخطوات الآتية:
    • حساب الزاوية المحصورة بين الضلع الجانبي والقاعدة عن طريق استخدام قانون جيب تمام الزاوية= المجاور/الوتر، ومنه جتا(س)=8/17=0.47، ومنه س=61.9 درجة.
    • تطبيق القانون: مساحة متوازي الأضلاع= طول القاعدة×طول الضلع الجانبي×جا الزاوية المحصورة بينهما= 21×17×جا(61.9)=315سم².
    • يمكن كذلك حل السؤال بطريقة أخرى تتمثل بحساب الارتفاع عن طريق نظرية فيثاغورس، لينتج أن: (الوتر (ج د))²= (الضلع الأول (دو))² (الضلع الثاني (وج))²، وبالتالي فإن 17²=(الضلع الأول (دو))² 8²، ومنه (دو) وهو الارتفاع= 15سم، ثم تطبيق القانون: مساحة متوازي الأضلاع= طول القاعدة×الارتفاع=21×15=315سم².


لمعرفة المزيد عن خصائص متوازي الأضلاع يمكنك قراءة المقال الآتي: خصائص متوازي الأضلاع.


المراجع

  1. ↑ "How Area Formulas of Triangles, Parallelograms & Trapezoids Relate", study.com, Retrieved 24-3-2020. Edited.
  2. ^ أ ب ت ث "Area of Parallelogram", byjus.com, Retrieved 24-3-2020. Edited.
  3. ^ أ ب "How to find the area of a parallelogram", www.varsitytutors.com, Retrieved 24-3-2020. Edited.
  4. ↑ "How to find the area of a parallelogram", www.varsitytutors.com, Retrieved 24-3-2020. Edited.
  5. ↑ "How to find the area of a parallelogram", www.varsitytutors.com, Retrieved 24-3-2020. Edited.
  6. ↑ " Areas of Parallelograms and Triangles", 1.cdn.edl.io, Retrieved 24-3-2020(page 1). Edited.
  7. ↑ " Areas of Parallelograms and Triangles", 1.cdn.edl.io, Retrieved 24-3-2020 (page 2). Edited.
  8. ↑ "Areas of Parallelograms and Triangles", 1.cdn.edl.io, Retrieved 24-3-2020 (page 3). Edited.
  9. ↑ "Areas of Parallelograms and Triangles", 1.cdn.edl.io, Retrieved 24-3-2020 (page 6). Edited.
  10. ↑ "Areas of Parallelograms and Triangles", 1.cdn.edl.io, Retrieved 24-3-2020 (page 8). Edited.
3,275 مشاهدة