بحث عن تشابه المثلثات

تعريف تشابه المثلثات

يُمكن تعريف تشابه المثلثات (بالإنجليزية: Triangle similarity) على أنه إحدى العلاقات التي تربط المثلثات ببعضها، حيث تكون الزاويا المتقابلة في المثلثين المتشابهين متساوية في كلّ منهما، والأضلاع متناسبة، وهو يختلف عن تطابق المثلثات (بالإنجليزية: Congruence) الذي يجب أن تكون فيه أطوال الأضلاع متساوية في كلا المثلثين إضافة إلى تساوي الزوايا،^[١] ويعني تتشابه المثلثات أن لها نفس الشكل، ولكنها تكون بأحجام مختلفة،^[٢] وكما ذُكر سابقاً تكون أطوال الأضلاع في المثلثات المتشابهة متناسبة؛ فإذا كان المثلث أب ج يشابه المثلث دهـ و مثلاً؛ فإن: (أب/دهـ)=(أج/دو)=(ب ج/هـ و)،^[٣] ويمكن تلخيص ما سبق بأنّ:^[٤]

• تطابق المثلثات: يعني أن المثلثين لهما نفس الشكل ونفس الحجم، ويُرمز له بالرمز (≅).
• أما تشابه المثلثات: فيعني أن المثلثين لهما نفس الشكل فقط، ويُرمز له بالرمز (∽).

لمزيد من المعلومات عن المثلثات يُمكنك قراءة المقالات الآتية: بحث رياضيات عن المثلثات، خصائص المثلث.

حالات تشابه المثلثات

الحالات العامة لتشابه المثلثات

• تتشابه المثلثات في الحالات الآتية:^[١]
  • تطابق الزوايا (AA): يتشابه مثلثان إذا تساوت زاويتان متناظرتان في كليهما (زاوية، زاوية).
  • تناسب جميع الأضلاع (SSS): يتشابه مثلثان إذا تناسبت أطوال الأضلاع المتناظرة فيهما (ضلع، ضلع، ضلع)،^[١] وإذا كانت الأضلاع الثلاثة للمثلثين متساوية فإن المثلثين متطابقان وليسا متشابهين.^[٥]
  • ضلعان وزاوية محصورة بينهما (SAS): يتشابه مثلثان إذا تساوى قياس زاوية من مثلث مع قياس زاوية من مثلث آخر وتناسبت أطوال الضلعين اللذين يحتويان هذه الزاوية (ضلع، زاوية، ضلع)؛ فمثلاً يتشابه المثلث أب ج مع المثلث دهـ و إذا كانت إحدى الزاويتين المتقابلتين متساويتين مثل: (أ = د)، وكانت أطوال الأضلاع المتقابلة والتي تضم هذه الزوايا متناسبة (أب/دهـ = أج/دو)، ليترتب على ذلك أن جميع الزوايا المتناظرة متطابقة وأن أطوال جميع الجوانب المتبقية متناسبة.^[١]

• حالات أخرى قد تتشابه فيها المثلثات: هناك بعض الحالات التي قد يتناسب فيها ضلعان من أحد المثلثات مع ضلعين مقابلين لهما من مثلث آخر، كما يتساوى قياس زاوية فيه (غير محصورة بين الضلعين المتناسبين) مع قياس زاوية أخرى في المثلث الآخر، وهي الحالة التي تُعرف بـ: (ضلع، ضلع، زاوية)، أو (زاوية، ضلع، ضلع) وهي لا تُثبت تشابه المثلثين العادية، إلا أنها تُثبت تشابه المثلثين في بعض الحالات الخاصة مثل المثلثات قائمة الزاوية.^[٥]

حالات تشابه المثلثات قائمة الزاوية

إضافة لما سبق تتشابه المثلثات قائمة الزاوية في الحالات الآتية:^[٦]

• • التشابه بالزاوية الحادّة: عند تطابق زاوية حادة من مثلث قائم مع زاوية حادّة أخرى من مثلث قائم آخر، فإن المثلثين متشابهان بالاعتماد على حالة التشابه (زاوية، زاوية).
  • التشابه بالساقين: إذا كانت أطوال السيقان المتقابلة متناسبة لمثلثين قائمي الزاوية؛ فإن المثلثين متشابهان بالاعتماد على حالة التشابه (ضلع، زاوية، ضلع).
  • التشابه بالوتر والساق: إذا كانت النسبة بين أطوال الوترين تساوي النسبة بين أطوال إحدى الساقين في مثلثين قائمي الزاوية، فإن المثلثين متشابهان.

لمزيد من المعلومات عن أنواع المثلثات يُمكنك قراءة المقال الآتي: انواع المثلثات.

بعض النظريات المتعلقة بتشابه المثلثات

من النظريات المتعلّقة بتشابه المثلثات ما يأتي:

• إذا وازى مستقيم أحد أضلاع مثلث و قطع ضلعيه الآخرين فإنه يقسم هذين الضلعين إلى أجزاء متناسبة، ويكون المثلث الناتج مشابهاً للمثلث الأصلي.^[٧]
• إذا تشابه مثلثان فإن النسبة بين مساحتي المثلثين تناسب مع مربع النسبة بين الضلعين؛ فمثلاً إذا كان المثلث أب ج والمثلث دهـ و متشابهين؛ فإنّ: (مساحة ∆أب ج/ مساحة ∆ دهـ و)=(أب/دهـ)²=(ب ج/هـ و)² =(أج/دو)²، ومساحة المثلث هي: ½×طول القاعدة×الارتفاع، ويُمكن توضيح هذه النظرية بمثال عملي كالآتي:^[٨]
  • إذا كان المثلثان ∆أب ج، ∆أدهـ متشابهين، وكان أد=5سم، وكان دب=10سم، وكان ب ج=20سم، فما هي النسبة بين مساحة كلّ من المثلثين ∆أب ج، ∆أدهـ؟
    • بما أن الزاوية دأهـ زاوية مشتركة بين المثلثين، والزاويتان أدهـ=أب ج لأنها زوايا متناظرة، فإن المثلثين متشابهان (∆أب ج ∽ ∆أدهـ) بالاعتماد على حالة التشابه بالزوايا (زاوية، زاوية).
    • التعويض في القانون: (مساحة ∆أب ج/ مساحة ∆أدهـ)=(أب/أد)²= ((5 10)/5)²=(3)²=9.

أمثلة حول تشابه المثلثات

• المثال الأول: مثلث أطوال أضلاعه هي: 2، 5، 12 سم، ومثلث آخر أطوال أضلاعه هي: 4، 10، 24 سم، هل هذان المثلثان متشابهان؟^[٩]
  • الحل:
  • حساب النسبة بين أطوال أضلاع المثلثين: (2/4)=2، (5/10)=2، (24/12)=2، وبما أنها متساوية إذن فالمثلثان متشابهان وفق حالة تناسب جميع الأضلاع (SSS).

• المثال الثاني: مثلثان قائمان أطوال سيقانهم المتقابلة، هي: 7، 2 سم، و 10.5، 3 سم، هل هذان المثلثان متشابهان، وما هي النسبة بين أطوال أضلاعهم؟^[٩]
  • الحل:
  • حساب النسبة بين أطوال أضلاع المثلثين: (10.5/7) هل تساوي (3/2)، بحساب كل منهما على حدة ينتج أن: 10.5/7=3/2=1.5، وبما أنها متساوية إذن فالمثلثان متشابهان، بتشابه ضلعين وزاوية محصورة بينهما (SAS).

• المثال الثالث: مثلثان متشابهان أطوال أضلاع الأول هي: 6، 7، 8 سم، وأطوال أضلاع المثلث الثاني هي: أ، ب، 6.4 سم، ما هي أطوال أضلاع المثلث الثاني؟^[١٠]
  • الحل:
  • بما أن المثلثين متشابهان، فالنسبة بين أطوال أضلاعهما متساوية: (8/6.4)=1.25.
  • حساب طول الضلع (أ) بالتعويض في النسبة بين أطوال الأضلاع: (6/أ)=1.25، ومنه أ=4.8 سم.
  • حساب طول الضلع (ب) بالتعويض في النسبة بين أطوال الأضلاع: (7/ب)=1.25، ومنه ب=5.6 سم.

• المثال الرابع: مثلثان متشابهان أطوال أضلاع الأول هي: 4، 6، 7 سم، وأطوال أضلاع المثلث الثاني هي: 3، ج، د سم، ما هو طول الضلع د؟^[١١]
  • الحل:
  • بما أن المثلثين متشابهين فالنسبة بين أطوال أضلاعهما متساوية: (4/3)=1.3.
  • حساب طول الضلع (د) بالتعويض في النسبة بين أطوال الأضلاع: (7/د)=1.3، ومنه د=5.25 سم.

• المثال الخامس: مثلثان الأول ∆أب هـ، والثاني ∆ج دهـ، يلتقيان في النقطة (هـ)، وكان ج د=1.5سم، دهـ=2سم، هـ ج=3سم، أهـ=5سم، وكان أب يوازي ج د، ما هو طول ب هـ؟^[١١]
  • الحل:
  • بما أن أب يوازي ج د فيتكوّن زوج من الزوايا المتبادلة المتساوية في القياس، وهي: (أب هـ ⦣ = دج هـ⦣، ب أ هـ⦣= ج دهـ⦣)، والزاويتان (⦣ ب هـ أ،⦣ ج هـ د) متساويتان لأنهما متقابلتان بالرأس، بالتالي ينتج أن المثلثين متشابهان وفق حالة التشابه بالزوايا.
  • النسبة بين الأضلاع المتشابهة: (ب هـ/ هـ ج)=(أهـ/دهـ)، ومنه (ب هـ/3)=(5/2)، ومنه ينتج أن قيمة ب هـ=5×3/2=7.5 سم.

• المثال السادس: المثلثان ∆أد ي، ∆أب جـ، يشتركان في النقطة (أ)، إذا كان ب ج يوازي دي، ودهـ يصل بين الضلعين أد، أي، وكان أب=3سم، ب د=2سم، دي=10سم، أج=4.5سم، فما هو طول ب ج؟^[١١]
  • الحل:
  • بما أن ب ج يوازي دي فيتكوّن زوج من الزوايا المتناظرة المتساوية في القياس كالآتي: (⦣ أب ج=⦣ أدي، ⦣ أج ب=⦣ أي د)، والزاويتان (⦣ ب أج،⦣دأي) متساويتان لأنهما نفس الزاوية، بالتالي ينتج أن المثلثين متشابهان وفق حالة التشابه بالزوايا.
  • النسبة بين الأضلاع المتشابهة: (ب ج/ دي)=(أب/أد)، ومنه (ب ج/10)=(3/(3 2))، ومنه ينتج أن قيمة ب ج=3×10/5=6 سم.

• المثال السابع: مثلث أطوال أضلاعه هي: 4، 2، 5 سم، ومثلث آخر أطوال أضلاعه المقابلة هي: 2.8، 1.4، 3.5 سم، هل هذان المثلثان متشابهان؟^[١٢]
  • الحل:
  • حساب النسبة بين أطوال أضلاع المثلثين: (2.8/4)=0.7، (1.4/2)=0.7، (3.5/5)=0.7، وبما أنها متساوية إذن المثلثان متشابهان.

• المثال الثامن: إذا كانت قياس الزاوية ت في المثلث س ت ر=25°، والزاوية ر=55°، وقياس الزاوية و في المثلث (وزي) 100°، والزاوية ز 25°، أثبت أن المثلين (س ت ر)، (وزي) متشابهان.^[١٣]
  • الحل:
    • لإثبات تشابه المثلثين يجب أولاً، حساب قياس الزاوية الثالثة لكل منهما، وذلك لإثبات تشابههما بتطابق ثلاث زوايا، وذلك كما يلي:
    • مجموع زوايا المثلث=180°، وعليه قياس الزاوية س في المثلث (س ت ر)= 180-(25 55)=100°.
    • مجموع زوايا المثلث=180°، وعليه قياس الزاوية ي في المثلث ( وزي)= 180-(25 100)=55°.
  • مما سبق يتبين أن قياسات زوايا المثلث (س ت ر) هي: 100، 55، 25، وقياسات زوايا المثلث (وزي)، هي: 100، 55، 25، وبالتالي هي متطابقة، والمثلثان متشابهان.

• المثال التاسع: أب ج مثلث قائم الزاوية في أ، إذا كان أد عمودياً على الوتر ب ج، كم عدد المثلثات المتشابهة في الشكل الناتج؟^[١٤]
  • الحل:
  • المثلثان ∆ أب ج، ∆ دب أ يمتلكان زاويتين متناظرتين ومتساويتين هما: الزاوية القائمة والزاوية ب المشتركة بينهما، فبالتالي المثلثان متشابهان بتطابق ثلاث زوايا.
  • المثلثان ∆ أب ج، ∆دأج يمتلكان زاويتين متناظرتين ومتساويتين هي الزاوية القائمة والزاوية ج المشتركة بينهما، فبالتالي المثلثان متشابهان بتطابق ثلاث زوايا.
  • وبذلك ينتج ثلاث مثلثات متشابهة هي: ∆ أب ج، ∆ دب أ، ∆ دأج.

• المثال العاشر: مثلثان قائمان متشابهان، إذا كان طول قاعدة الأول 6سم، وارتفاعه 9سم، وكان طول قاعدة الثاني 20سم، فما هو ارتفاع المثلث الثاني؟^[٩]
  • الحل:
  • بما أن المثلثين متشابهين فالنسبة بين أطوال أضلاعهما متساوية: (20/6)=3.33.
  • حساب ارتفاع المثلث الثاني بالتعويض في النسبة بين أطوال الأضلاع: (ارتفاع المثلث الثاني/9)= 3.33، ومنه ارتفاع المثلث الثاني=30 سم.

• المثال الحادي عشر: عامودا إنارة في شارع مستقيم، ارتفاع الأول 36 قدم، وطول ظله في أحد أوقات النهار 9 أقدام، وطول ظل الثاني 6 أقدام في نفس الوقت من النهار، ما هو ارتفاع العامود الثاني؟^[٩]
  • الحل:
  • بعد تمثيل المسألة يتضح أن العمودان يشكلان مع الشارع مثلثان، أضلاعم على النحو الآتي:
    • الضلع الأول هو عمود الإنارة، أما الضلع الثاني فهو ظل عمود الإنارة وهو يقع على طول الشارع تماماً، أما الضلع الثالث فهو الخط الواصل بين الطرف العلوي لعمود الإنارة، وطرف الظل من الأعلى.
  • المثلثان متشابهان لأنهما قائما الزاوية، وهي الزاوية المحصورة بين العمود والشارع، أما الزاوية المحصورة بين الضلعين الثاني والثالث فهي متساوية في كليهما بما أن الظل تم قياسه في نفس الوقت من النهار، وبالتالي النسبة بين أطوال أضلاعهما متساوية: (9/6)=1.5.
  • حساب ارتفاع العامود الثاني بالتعويض في النسبة بين أطوال الأضلاع: (36/ارتفاع العمود الثاني)= 1.5، ومنه ارتفاع المثلث الثاني=24 قدم.

• المثال الثامن: مثلثان متشابهان طول ضلعين من أضلاع المثلث الأول هي: 1.8، 8 سم، وطول ضلعين من أطوال أضلاع المثلث الثاني هي: س، 3 سم، ما هو طول الضلع س؟^[١٣]
  • الحل:
  • بما أن المثلثين متشابهان فالنسبة بين أطوال أضلاعهما متساوية: (8/3)=2.67.
  • حساب طول الضلع (س) بالتعويض في النسبة بين أطوال الأضلاع: (1.8/س)=2.67، ومنه س=4.8 سم.

لمزيد من المعلومات عن قوانين المثلثات يُمكنك قراءة المقال الآتي: قوانين حساب المثلثات.
لمزيد من المعلومات عن زوايا المثلث يُمكنك قراءة المقال الآتي: حساب زوايا المثلث.

المراجع

1. ^ ^{أ ب ت ث} "Triangle similarity theorems", www.mathemania.com, Retrieved 6-4-2020. Edited.
2. ↑ "Similar Triangles", www.mathopenref.com, Retrieved 6-4-2020. Edited.
3. ↑ "Similar Triangles", www.varsitytutors.com, Retrieved 6-4-2020. Edited.
4. ↑ "Similar Triangles", www.malinc.se, Retrieved 6-4-2020. Edited.
5. ^ ^{أ ب} Bert Markgraf (14-5-2018), "What are the Triangle Similarity Theorems?"، www.sciencing.com, Retrieved 6-4-2020. Edited.
6. ↑ "Right Triangle Similarity", www.varsitytutors.com, Retrieved 6-4-2020. Edited.
7. ↑ "Triangle Similarity Theorems", www.calcworkshop.com,21-1-2020، Retrieved 6-4-2020. Edited.
8. ↑ "Area Of Similar Triangles", www.byjus.com, Retrieved 6-4-2020. Edited.
9. ^ ^{أ ب ت ث} "Example Questions", www.varsitytutors.com, Retrieved 6-4-2020. Edited.
10. ↑ "Similar Triangles", www.mathsisfun.com, Retrieved 6-4-2020. Edited.
11. ^ ^{أ ب ت} "Similar Triangles ", www.mathopolis.com, Retrieved 6-4-2020. Edited.
12. ↑ "Similar Triangles", www.helpingwithmath.com, Retrieved 6-4-2020. Edited.
13. ^ ^{أ ب} "Similarity", www.siyavula.com, Retrieved 6-4-2020. Edited.
14. ↑ "Similar Triangles Examples and Problems with Solutions", /www.analyzemath.com, Retrieved 6-4-2020. Edited.