خصائص الأعداد الحقيقية

محتويات

١ نظرة عامة حول الأعداد الحقيقية
٢ خصائص الأعداد الحقيقية
٣ أمثلة حول خصائص الأعداد الحقيقية
٤ فيديو تعريفي عن مجموعات الاعداد
٥ المراجع

نظرة عامة حول الأعداد الحقيقية

يمكن تعريف الأعداد الحقيقية (بالإنجليزية: Real Numbers) بأنها جميع الأعداد التي تقع على خط الأعداد، ويُرمز لها عادة بالرمز (R)، وهي تتضمن ما يلي:^[١]

الأعداد الطبيعية (ط): تتضمن جميع الأعداد الصحيحة الموجبة مثل: 1، 2، 3، ......
الأعداد الصحيحة (ص): تتضمن جميع الأعداد غير الكسرية الموجبة، والسالبة، والصفر؛ مثل: .......، 3، 2، 1، 0، -1، -2، -3، .....
الأعداد النسبية: تتضمن أي عدد يمكن كتابته على صورة أ/ب، والكسور العشرية، والكسور العشرية الدورية المنتظمة مثل: -1/2، 6.25، 0.318 (حيث إن الجزء المظلل يمثل الجزء الدوري)، والجذور التي لها مربعات، أو مكعبات كاملة مثل 4√.
الأعداد غير النسبية: تتضمن الكسور العشرية الدورية غير المنتظمة، والجذور التي ليس لها مربعات، أو مكعبات كاملة مثل: ......0.121221222، 3√، π.

خصائص الأعداد الحقيقية

تتميز الأعداد الحقيقية بالخصائص الآتية:^[٢]

خاصية الانغلاق: (بالإنجليزية: Closure Properties) إذا كان أ، وب عددان حقيقيان فإن ناتج جمع أو طرح العددين (أ ب)، (أ-ب) يساوي عدداً حقيقياً أيضاً، وكذلك الحال بالنسبة لناتج ضرب العددين (أ×ب) فهو يساوي أيضاً عدداً حقيقياً؛ فمثلاً إذا كان العددان 3،11 حقيقيان فإنّ: 3 11 = 14، 3×11 = 33، والعددان 14، و33 يمثلان أعداداً حقيقية، لكن ذلك لا ينطبق على عملية القسمة، وذلك كما يلي:
- إن العددين 0، و5 يمثلان عددان حقيقيان، لكنّ ناتج قسمة 5/0 يعطي قيمة غير مُعرّفة وهو عدد غير حقيقي؛ حيث إن القسمة على صفر دائماً تعطي قيمة غير معرفة.
الخاصية التبديلية: (بالإنجليزية: Commutative Properties) وهذه الخاصية تنطبق على عملية جمع الأعداد الحقيقية، وضربها، وتعني أنّه: إذا كان أ، ب عددان حقيقيان فإنّ: أ ب = ب أ، و أ×ب = ب×أ، والأمثلة الآتية توضّح ذلك:
- 3 4 = 4 3، وفي كلتا الحالتين الناتج يساوي 7.
- 4×8 = 8×4، وفي كلتا الحالتين الناتج يساوي 32.
الخاصية التجميعية (بالإنجليزية: Associative Properties) وهذه الخاصية تنطبق على عملية جمع، وطرح الأعداد الحقيقية، وتعني أنّه إذا كانت أ، ب، جـ أعداداً حقيقية فإنّ: (أ ب) جـ = أ (ب جـ)، و (أ×ب)×جـ = أ×(ب×جـ)، والأمثلة الآتية توضّح ذلك:
- (2 6) 1 = 2 (6 1)، وبالتالي: 8 1 = 2 7، ومنه: 9 = 9؛ أي أنه في كلتا الحالتين تم الحصول على نفس النتيجة.
- (2×3)×5 = 2×(3×5)، وبالتالي: 6×5 = 2×15، ومنه: 30 = 30؛ أي أنه في كلتا الحالتين تم الحصول على نفس النتيجة.
الخاصية التوزيعية: (بالإنجليزية: Distributive Properties): تعني هذه الخاصية أنّه يمكن توزيع عملية الضرب على عمليتي الجمع والطرح؛ فمثلاً: جـ×(أ ب) = جـ×أ جـ×ب، ويمكن إثبات ذلك كما يلي: إنّ 4×(أ ب) تعني أن هناك أربعة حدود من (أ ب)؛ أي (أ ب) (أ ب) (أ ب) (أ ب) = 4×أ 4×ب، وهي تعادل النتيجة التي يمكن الحصول عليها عند تطبيق الخاصية التوزيعية، ولتوضيح ذلك إليك الأمثلة الآتية:
- - 2×(5 7) = 2×5 2×7 = 24.
  - 6×(س 3) = 6×س 6×3 = 6س 18.
خاصية الهوية: (بالإنجليزية: The Identity Properties) العنصر المحايد لعملية الجمع هو صفر، وهذا يعني أن إضافة أي عدد للصفر يعطي نفس العدد؛ مثل: 6 0 = 6، والعنصر المحايد لعملية الضرب هو 1، وهذا يعني أن ضرب أي عدد في 1 يُعطي العدد نفسه مثل: 6×1 = 6، وبشكل عام إذا كان أ عدد حقيقي فإنّ:
- أ 0 = أ.
- أ×1 = أ.
خاصية المعكوس: (بالإنجليزية: Inverse Properties) يمكن تعريف المعكوس الجمعي لأي عدد حقيقي بأنه العدد الذي عند إضافته إلى ذلك العدد يُعطي النتيجة (0)؛ فمثلاً المعكوس الجمعي للعدد 3 هو -3، وذلك لأنّ: 3 (-3) = 0، والمعكوس الجمعي للعدد 15- مثلاً هو 15، أما المعكوس الضربي فهو العدد الذي عند ضربه في أي عدد حقيقي يعطي النتيجة (1)، ويمثل مقلوب العدد دائماً المعكوس الضربي له؛ فمثلاً المعكوس الضربي للعدد 6 هو 1/6، وذلك لأنّ: 6×(1/6) = 1، والمعكوس الضربي للعدد 2/3 هو 3/2، وبشكل عام إذا كان أ عدد حقيقي فإنّ:
- المعكوس الجمعي له هو -أ، وذلك لأنّ: أ (-أ) = 0، و (-أ) أ = 0.
- المعكوس الضربي له هو مقلوب العدد؛ أي (1/أ)، وذلك لأنّ: أ×(1/أ) = 1.

أمثلة حول خصائص الأعداد الحقيقية

المثال الأول: باستخدام خصائص الأعداد الحقيقية ضع القيمة المناسبة في الفراغ لكل مما يأتي: أ) 6 5 = () 6. ب) ل 12 = 12 (). جـ) 4×(ع-5) = ()×4. د) (9×أ-1)×() = (2×ب 7)×(9×أ-1). هـ) (9 2) 5 = 9 () و) س (5 ص) = () ص؟^[٢]
- الحل:
- أ) باستخدام الخاصية التبديلية فإنّ: 6 5 = (5) 6.
- ب) باستخدام الخاصية التبديلية للجمع فإنّ: ل 12 = 12 (ل).
- جـ) باستخدام الخاصية التبديلية للضرب فإنّ: 4×(ع-5) = (ع-5)×4.
- د) باستخدام الخاصية التبديلية للضرب فإنّ: (9×أ-1)×(2×ب 7) = (2×ب 7)×(9×أ-1).
- هـ) باستخدام الخاصية التجميعية فإنّ: (9 2) 5 = 9 (2 5).
- و) باستخدام الخاصية التجميعية فإنّ: س (5 ص) = (س 5) ص.

المثال الثاني: يريد أحمد إجراء عملية الطرح: 1273-497، ولكنه لا يمتلك آلة حاسبة، فقرر إجراء عملية الطرح باستخدام الخاصية التجميعية كما يلي: أ) الخطوة الأولى: 1273-497. ب) الخطوة الثانية: 1273 - (500-3) جـ) الخطوة الثالثة: (1273-500) - 3 د) الخطوة الرابعة: 773-3 هـ) الخطوة الخامسة (النتيجة): 770؛ فأخبره صديقه خالد أن إجابته خطأ، وأن الإجابة تساوي 776، فأي من الخطوات التي قام بها أحمد كانت خطأ؟^[٣]
- الحل:
- الخطوة الثالثة (جـ)، وذلك لأن الخاصية التجميعية تنطبق على عملية الجمع، والضرب فقط، ولا تنطبق على عملية الطرح.

المثال الثالث: تريد سارة إجراء عملية القسمة 40/9، ولكنها لا تملك آلة حاسبة فأجرت الخطوات الآتية: أ) الخطوة الأولى: 40/(5 4) ب) الخطوة الثانية: (40/4) (40/5) جـ) الخطوة الثالثة: 10 8 د) الخطوة الرابعة: 18، فأخبرتها صديقتها سلمى أن الإجابة خطأ، وأن الإجابة يجب أن تساوي 4.44، فأي من الخطوات التي قامت بها سارة تعتبر خطأ؟^[٣]
- الحل:
- الخطوة الثانية، وذلك لأن الخاصية التوزيعية تنطبق على حالة الضرب فقط، وليس القسمة.

المثال الرابع: بسّط ما يلي إلى أبسط صورة: 18×ب 6×ك 15×ب 5×ك؟^[٤]
- الحل: باستخدام الخاصية التجميعية فإنه يمكن جمع الحدود المتشابهة معاً كما يلي: 18×ب 6×ك 15×ب 5×ك= (18 15)×ب (6 5)×ك = 33×ب 11×ك.

المثال الخامس: بسّط ما يلي إلى أبسط صورة: ((5/13) (3/4)) (1/4)؟^[٤]
- الحل:
- لإجراء عملية الجمع فإنه يجب أولاً أن تكون المقامات متشابهة، ويمكن ملاحظة أن آخر حدين مقاماتهم متشابهة، وبالتالي يمكن باستخدام الخاصية التجميعية إعادة كتابة المسألة كما يلي لتسهيل حسابها: (5/13) ((3/4) (1/4))، لينتج أنّ:
  - (5/13) (4/4) = (5/13) 1 =(5/13)1، وهو عدد كسري
  - بتحويل العدد الكسري إلى كسر ينتج أنّ: (5/13)1= 18/13.

المثال السادس: ما هو المعكوس الجمعي للقيم الآتية: أ) 5/8 ب) 0.6 جـ) -8 د) -4 / 3؟^[٤]
- الحل:
- المعكوس الجمعي يمثل نفس العدد ولكن باختلاف الإشارة، وبالتالي:
  - أ) المعكوس الجمعي للعدد 5 = -5.
  - ب) المعكوس الجمعي للعدد 0.6 = 0.6-.
  - جـ) المعكوس الجمعي للعدد -8 = 8.
  - د) المعكوس الجمعي للعدد -4/3 = 4/3.

المثال السابع: ما هو المعكوس الضربي لكل من القيم الآتية: أ) 9. ب) - 1/9. جـ) 0.9.؟^[٤]
- الحل:
- المعكوس الضربي يمثل المقلوب، وبالتالي:
  - أ) المعكوس الضربي للعدد 9 هو: 1/9.
  - ب) المعكوس الضربي للعدد -1/9: -9.
  - جـ) العدد 0.9 عبارة عن 9/10، وبالتالي فإن المعكوس الضربي له: 10/9.

المثال الثامن: هل ناتج ضرب (-6)×( 3) يساوي عدداً حقيقياً؟^[٥]
- الحل:
- نعم، وذلك لأنّ: -6×( 3) = -18، وهو عدد حقيقي وفق خاصية الانغلاق.

المثال التاسع: هل (-3×2)×2 تساوي -3×(2×2)؟^[٥]
- الحل: الطرفان وفق الخاصية التجميعية للضرب متساويان، ولإثبات ذلك:
  - (-3×2)×2 = -6×2 = -12.
  - -3×(2×2) = -3×4 = -12

المثال العاشر: بناءً على معرفتك بخصائص الأعداد الحقيقية ما هي الخاصية التي تمثل كلاً مما يلي: أ) 7 (-2) = (-2) 7 ب) س (3 ص) = (س 3) ص جـ) أ ((ب جـ)×د) = أ د×(ب جـ) د) س×(ص (ع ل)) = س×ص س×(ع ل) هـ) (س ص) (-(س ص)) = 0 و) (س ص)×1 = س ص ي) إذا كانت س ص لا تساوي صفر؛ فإنّ (س ص)×(1/(س ص)) = 1؟^[٦]
- الحل:
- أ) الخاصية التبديلية للجمع.
- ب) الخاصية التجميعية للجمع.
- جـ) الخاصية التبديلية للضرب.
- د) الخاصية التوزيعية.
- هـ) خاصية المعكوس الجمعي (العدد معكوسه = صفر).
- و)خاصية الهوية لعملية الضرب.
- ي) خاصية المعكوس الضربي (العدد×مقلوبه = 1).