محتويات
نظرة عامة حول الأعداد الحقيقية
يمكن تعريف الأعداد الحقيقية (بالإنجليزية: Real Numbers) بأنّها جميع الأعداد التي يمكن العثور عليها على خط الأعداد، وهي تشمل الأعداد النسبية وغير النسبية، والموجبة والسالبة، وحتى الصفر،[١] وهي الأعداد المُستخدمة عادةً في الحياة اليوميّة.[٢] أما من الأمثلة على الأعداد غير الحقيقية فهي الجذر التربيعي للعدد -1، والمالانهاية،[٣] ويمكن القول إن الأعداد الحقيقية هي جميع الأعداد التي يساوي مربعها عدداً حقيقياً موجباً.[٤]
مجموعات الأعداد الحقيقية
تنقسم الأعداد الحقيقية إلى كل من الأعداد غير النسبية، والنسبية التي تنقسم إلى بدورها إلى الأعداد الصحيحة والكسرية، أما الأعداد الصحيحة فتنقسم إلى الأعداد الكاملة والأعداد السالبة، أما الأعداد الكاملة فتنقسم إلى الأعداد الطبيعية والصفر، وفيما يلي توضيح لكل مجموعة من هذه المجموعات:[٢]
- الأعداد النسبية: (بالإنجليزية: Rational numbers) وهي تشمل جميع الأعداد التي يمكن كتابتها على شكل كسر مكوّن من بسط ومقام.
- الأعداد الصحيحة: (بالإنجليزية: Integers numbers) وهي تشمل الأعداد الكاملة، والأعداد السالبة؛ وهي الأعداد التي لا تضم أجزاء عشرية.
- الأعداد الكسرية: (بالإنجليزية: Fractions numbers) وهي تشمل جميع الأعداد التي تقع بين الأعداد الصحيحة على خط الأعداد.
- الأعداد الكاملة: (بالإنجليزية: Whole numbers) وهي الأعداد الطبيعية إضافة للصفر.
- الأعداد الطبيعية: (بالإنجليزية: Natural numbers) وهي جميع الأعداد الصحيحة ابتداءً من العدد 1.
- أنواع أخرى:[٢]
- الأعداد الزوجية والفردية: (بالإنجليزية: Even and odd numbers) الأعداد الزوجية هي جميع الأعداد الصحيحة التي تقبل القسمة على العدد (2) دون باقٍ، أما الأعداد الصحيحة الفردية فهي التي لا تقبل القسمة على (2) دون باقٍ.
- الأعداد الموجبة والسالبة: (بالإنجليزية: Even and odd numbers) الأعداد الموجبة هي جميع الأعداد الصحيحة التي تزيد عن العدد (0)، أما الأعداد السالبة فهي جميع الأعداد الصحيحة التي تقل عن العدد (0).
- الأعداد الأولية والمركبة: (بالإنجليزية: Prime and composite numbers) الأعداد الأولية هي جميع الأعداد الطبيعية التي لا تمتلك سوى عاملين هما: نفسها والعدد واحد، أما الأعداد المركبة فهي جميع الأعداد غير الأولية المتبقية.
لمزيد من المعلومات حول الأعداد النسبية يمكنك قراءة المقال الآتي: ما هو العدد النسبي.
لمزيد من المعلومات حول الأعداد الأولية يمكنك قراءة المقال الآتي: ما هي الأعداد الأولية.
لمزيد من المعلومات حول الأعداد الصحيحة يمكنك قراءة المقال الآتي: ما هو العدد الصحيح.
لمزيد من المعلومات حول الأعداد الزوجية والفردية يمكنك قراءة المقال الآتي: الأعداد الزوجية و الأعداد الفردية.
خصائص الأعداد الحقيقيّة
إنّ فهم خصائص الأعداد الحقيقيّة يُساعد في تبسيط إجراء العمليات الحسابية والجبرية وفي حلّ المعادلات، وتتلعق هذه الخصائصُ بسلوك هذه الأعداد عندما تُنفّذ عليها العمليات الرياضية الأساسية، وهي كالآتي:[٥]
- عند جمع أو ضرب عددين حقيقيّن فإنّ الناتج هو عدد حقيقيّ أيضاً.
- الخاصية التبديلية: عند جمع أو ضرب عددين حقيقيّن فإنّ الناتج هو نفسه بغضّ النظر عن ترتيب الأعداد في المسألة، مثل: (5 3)=(3 5)= 8، و(5×3)= (3×5)=15.
- الخاصية التجميعية: عند جمع أو ضرب ثلاثة أعداد فإنّ الناتج هو نفسه، بغض النظر عن طريقة تجميع هذه الأعداد داخل الأقواس؛ مثل: (5 2) 3=5 (3 2)=10، و (5×2)×3=5×(3×2)=30.
- خاصية الهوية: عند جمع الرقم صفر لأي عدد حقيقي فإنّ الناتج هو العدد الحقيقي نفسه.
- عند جمع العدد الحقيقي مع معكوسه فإنّ النتيجة دائماً تساوي صفراً، مثل: 13 -13=0.
- عند ضرب العدد الحقيقي غير الصفر بمقلوبه فإنّ النتيجة دائماً تساوي واحد، مثل: 1/2×2=1.
- خاصية التوزيع: عند ضرب عدد حقيقي بعددين حقيقين تفصل بينهما عملية جمع داخل قوس؛ فإنّ الضرب يتوزع على عملية الجمع، مثل: 4×(5 8)=4×5 4×8=20 32=52.
لمزيد من المعلومات حول خصائص الأعداد الحقيقية يمكنك قراءة المقال الآتي: خصائص الأعداد الحقيقية.
أمثلة على الأعداد الحقيقية
- مثال: صنّف الأعداد الحقيقية الآتية إلى: أعداد طبيعية/ كاملة/ صحيحة/ نسبية/ غير نسبية: 35/7، 0، 169√، 24√، ....4.763763763، -6، 8/3، 6، 6.210735، 2 /5√-، 6π-.[٦]
- الحل:
| العدد | نسبي | غير نسبي | صحيح | كامل | طبيعي |
|---|---|---|---|---|---|
| 35/7 | نعم | لا | نعم | نعم | نعم |
| 0 | نعم | لا | نعم | نعم | لا |
| 169√ | نعم | لا | نعم | نعم | نعم |
| 24√ | لا | نعم | لا | لا | لا |
| ....4.763763763 | نعم | لا | لا | لا | لا |
| -6 | نعم | لا | نعم | لا | لا |
| 8/3 | نعم | لا | لا | لا | لا |
| 6 | نعم | لا | نعم | نعم | نعم |
| 6.210735 | نعم | لا | لا | لا | لا |
| 2 /5√- | لا | نعم | لا | لا | لا |
| 6π- | لا | نعم | لا | لا | لا |
المراجع
- ↑ Elaine J. Hom (15-1-2014), "Real Numbers: Properties and Definition"، Live Science, Retrieved 3-12-2018. Edited.
- ^ أ ب ت "Real Number System", ipracticemath, Retrieved 11-11-2018. Edited.
- ↑ "Real Numbers", mathsisfun, Retrieved 11-1-2018. Edited.
- ↑ "What is a Real Number?", www.expii.com, Retrieved 31-5-2020. Edited.
- ↑ "The Properties of Real Numbers", chilimath, Retrieved 11-11-2018. Edited.
- ↑ "Real Numbers", courses.lumenlearning.com, Retrieved 31-5-2020. Edited.
