تحليل المتجهات

تحليل المتجهات

يُمكن إيجاد الإحداثي السيني (أ_س) والإحداثي الصادي (أ_ص) للمتجه (أ) على النحو الآتي علماً بأنّ (أ) هي الوتر في المثلث القائم:^[١]

• أ_س= أ جتاθ.
• أ_ص= أ جاθ.
• لإيجاد قيمة المتجه (أ) يتم استخدام قاعدة فيثاغورس كما يأتي:

أ= (أ_س² أ_ص²)^(1/2)

ولإيجاد قيمة الزاوية التي ينحرف بها المتجه عن المحور السيني، يتمّ استخدام إحداثيات المتجه أ_س، وأ_ص باستخدام خصائص المثلث، وذلك على النحو الآتي:^[١]

• ظاθ=∣أص÷أس∣.
• للحصول على الزاوية، نستخدم الاقتران العكسي للظل:

θ=ظا^-1∣أ_ص÷أ_س∣

أمثلة على تحليل المتجهات

سؤال: إذا كان مقدار متجه القوة 300 نيوتن، وينحرف عن محور السينات بزاوية 40°، ما قيمة الإحداثي السيني والصادي لمتجه القوة (ق)؟

الحل:^[٢]

• ق_س=300 * جتا40
  =229.9 نيوتن.
• ق_ص=300 * جا40
  =192.8 نيوتن.
• ق(229.9,192.8).

الصيغة العامة للمتجهات

لقياس العديد من الكميات الفيزيائية مثل القوة والسرعة، يجب تحديد المقدار والاتجاه لهما، وتُعرف هذه الكميات بالمتجهات (بالإنجليزية: Vectors)، ويتمّ تحديد الاتجاه للكمية المتجهة (ع) في الأبعاد الثلاثة على النحو الآتي:^[٣]

^{^}xi^{^} yj^{^} zk، حيث:

• (x,y,z) هي (س،ص،ز)
• ^i هو الإحداثي السيني للمتجه، وأبعاده (1,0,0).
• ^j هو الإحداثي الصادي للمتجه، وأبعاده (0,1,0).
• ^k هو الإحداثي الزيني للمتجه، وأبعاده (0,0,1).
• قيمة المتجه (ع) تساوي: (س² ص² ز²)^(1/2).

ملاحظات عن المتجهات

من الملاحظات المهمة حول المتجهات ما يأتي:^[٣]

• يُمكن تعريف المتجه بأيّ عدد من الاتجاهات، وهنا تمّ تعريفه بثلاثة اتجاهات.
• يتساوى متجهان إذا كان لهما نفس المقدار، والاتجاه فقط.
• المتجه الذي طوله وحدة واحدة يعرف بمتّجه الوحدة.
• المتجه الذي قيمته صفر هو المتجه التي تكون أبعاده (0,0,0).
• المتجهات التي لها نفس القيمة لكنها تكون في الاتجاه المعاكس تعرف بالمتجهات السالبة (بالإنجليزية: Negative Vector).^[٤]
• المتجهات التي تكون بنفس الاتجاه لكنها قد تختلف أو تتساوى في المقدار تعرف بالمتجهات المتوازية (بالإنجليزية: Parallel Vector).^[٤]
• المتجهات التي تقع في نفس المستوى، أو أنّها تكون متوازية في المستوى نفسه، تعرف بالمتجهات المشتركة في المستوى (بالإنجليزية: Coplanar Vectors).^[٤]

المراجع

1. ^ ^{أ ب} "Analyzing vectors using trigonometry review", www.khanacademy.org, Retrieved 10-3-2019. Edited.
2. ↑ "Vectors", adaptivemap.ma.psu.edu, Retrieved 10-3-2019. Edited.
3. ^ ^{أ ب} "Elementary Vector Analysis", www.math.hmc.edu, Retrieved 10-3-2019. Edited.
4. ^ ^{أ ب ت} "Scalars and Vectors", www.toppr.com, Retrieved 10-3-2019. Edited.