خصائص عملية الضرب

محتويات

١ خصائص عملية الضرب
٢ أمثلة متنوعة على خصائص عملية الضرب
٣ المراجع

خصائص عملية الضرب

لعملية الضرب خصائص عدة، وهذه الخصائص هي:

الخاصيّة التبادليّة

يمكن تعريف الخاصية التبادلية (بالإنجليزيّة: Commutative Property) بأنها تلك الخاصيّة التي تُوضّح أن اختلاف ترتيب الأرقام أو العوامل أثناء إجراء عمليّة الضرب لا يؤثر على النتيجة النهائية، ويتم التعبير عن ذلك بالرمور: (أ×ب)=(ب×أ)؛ فعلى سبيل المثال إذا كان ناتج ضرب العدد 8 بالعدد 2 يساوي 16، فإنّ ناتج ضرب العدد 2 بالعدد 8 يساوي 16 أيضاً؛ أي أن 8×2=2×8؛ ويجدر بالذكر هنا أن هذه الخاصية لا تنطبق على عملية القسمة،^[١] ويمكن من خلالها تبسيط عملية ضرب الأعداد التي تزيد عن اثنين لتسهيل حلها؛ مثل إيجاد حاصل ضرب 2×3×5×3×2×3×5؛ حيث يمكن إعادة ترتيب هذه المسألة باستخدامها لتصبح: (2×5)×(5×2)×(3×3)×3=10×10×27=2700، وحلها بسهولة.^[٢]

خاصيّة التجميع

يُطلق على الخاصيّة التي توضّح إمكانيّة تغيير طريقة تجميع الحدود أو الأرقام دون التأثير على ناتج الضرب اسم خاصيّة التجميع (بالإنجليزيّة: Associative property)؛ فعلى سبيل المثال إنّ ناتج ضرب: 3×(5×4)= 60، ويساوي ناتج 4×(3×5)= 60؛^[٣] ويمكن التعبير عنها بالرموز: أ×(ب×ج)= (أ×ب)×ج،^[٤] وهي تعني باختصار أن موقع الأقواس في المسألة الرياضية لا يؤثر على نتيجتها النهائية.^[٥]

خاصيّة التّوزيع

يُطلق على الخاصيّة التي توضّح إمكانيّة ضرب العدد أو الحد الموجود خارج الأقواس بكل الأعداد أو الحدود الموجودة داخله اسم خاصيّة التجميع (بالإنجليزيّة: Distributive Property)ويمكن التعبير عنها بالرموز على شكل: أ×(س ص)= أ×س أ×ص، كما أنّ أ×(س-ص)= أ×س - أ×ص،^[٦] وتساعد هذه الخاصية على تبسيط المسائل المعقدة إلى مسألة بسيطة مكونة من طرح أو جمع بين عددين أو حدين.^[٧]

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول خاصية التوزيع يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون التوزيع في الضرب.

خاصيّة الهويّة

يُطلق على الخاصيّة التي توضّح أنّه في حالة ضرب العدد 1 بأي عدد آخر فسيكون الناتج هو العدد الآخر اسم خاصيّة الهويّة، أو خاصيّة الواحد (بالإنجليزيّة: Identity property)، فعلى سبيل المثال إنّ ناتج ضرب العدد 1 بالعدد 5 هو 5، وناتج ضرب العدد 20 بالعدد 1 هو 20.^[٣]

خاصيّة الصفر

يُطلق على الخاصيّة التي توضّح أنّ ناتج ضرب أي عدد بالصفر هو صفر اسم خاصيّة الصفر (بالإنجليزيّة: Zero Property)، فعلى سبيل المثال إنّ ناتج ضرب العدد 5 بالعدد 0 هو 0، كما أنّ ناتج ضرب العدد 0 بالعدد 100 هو صفر دائماً،^[٨] وتبرز أهمية هذه الخاصية في حل المعادلات؛ فمثلاً عند حل هذه المعادلة: (س-4)(س 4)=0؛ فإن خاصية الصفر تفرض أن أحد القوسين أو كليهما يجب أن يكون مساوياً للعدد صفر، ومنه يكون حلها س=4 ،4-.^[٩]

أمثلة متنوعة على خصائص عملية الضرب

المثال الأول: ما هي الخاصية التي تتمثل بما يأتي: 4×3=3×4.^[١٠]
- الحل: الخاصية التبادلية.

المثال الثاني: عبر عن التعبير الآتي بأسلوب مختلف باستخدام الخاصية التبادلية: 6×س².^[١٠]
- الحل: س²×6=6×س²

المثال الثالث: ما هي الخاصية التي تتمثل بما يأتي: 3×(7×4)=(3×7)×4.^[٣]
- الحل: خاصية التجميع.

المثال الرابع: أي من تلك العبارات تعبّر بشكل صحيح عن الخاصية التبادلية: 3×6×4=3×6×4، 3×6×4=6×4×3، 2×3×6=9×4.^[١٠]
- الحل: 3×6×4=6×4×3.

المثال الخامس: جد ناتج العبارة العملية الحسابية الآتية دون استخدام الآلة الحاسبة: 7/13×11/8×4/17×8/11×6/19×13/7×19/6×17/4.^[١٠]
- الحل: ترتيب الأرقام بالاستعانة بالخاصية التبادلية لتسهيل عملية حسابها، لتصبح كما يأتي: (4/17×17/4)×(11/8×8/11)×(6/19×19/6)×(7/13×13/7)=(1)×(1)×(1)×(1)=1

المثال السادس: ما هي الخاصية التي تتمثل بما يأتي: 8×1=8.^[٣]
- الحل: خاصية الهوية، أو خاصية الواحد.

المثال السابع: أي من الآتي يعبّر عن خاصية التجميع: 4س(6س²×8)=6س²(8×4س)، أ×1=أ، 8س×7س²=7س²×8س، 8(س 3)=8س 24.^[١١]
- الحل: 4س(6س²×8)=6س²(8×4س).

المثال السابع: أي من الآتي يعبّر عن خاصية التجميع: أ×1=أ، أ×0=0، ب×أ=أ×ب، ج(أ×ب)=ب(أ×ج).^[١١]
- الحل: ج(أ×ب)=ب(أ×ج).

المثال الثامن: إذا كان 7×(4×2)=56، فما هو ناتج (7×4)×2=؟^[١٢]
- الحل: 56، فوفق خاصية التجميع إن 7×(4×2)=(7×4)×2.

المثال التاسع: الرقم المفقود هنا هو: 5 × (_× 9) = (5 × 8) × 9.^[١٢]
- الحل: 8، وفق خاصية التجميع.

المثال العاشر: بسط ما يأتي باستخدام خاصية التوزيع: 4*( 2س 8).^[١٢]
- الحل: 4×( 2س 8)=4×(2س) 4×8، ويساوي 8س 32.

المثال الحادي عشر: بسّط التعبير الآتي باستخدم خاصية الضرب المناسبة: 2×(3س 5)-(س 2).^[١٣]
- الحل: باستخدم خاصية التوزيع يمكن كتابة التعبير السابق على الشكل الآتي: 2×(3س 5)--1×(س 2)=6س 10-س-2=5س 8.