قانون المثلث قائم الزاوية

تعريف المثلّث قائم الزاوية

يمكن تعريف المثلّث قائم الزاوية (بالإنجليزية: Right Triangle) بأنّه نوع من المثلّثات، وهي التي تحتوي على زاوية قائمة قياسها 90°،^[١] ويُطلَق على أطول أضلاعه اسم الوتر، وهو الضلع المقابل دائماً للزاوية القائمة، أما الضلعان الآخران فيُطلق عليهما اسم ساقي المثلث قائم الزاوية.^[٢]

قانون المثلث قائم الزاوية-نظريّة فيثاغورس

نص نظرية فيثاغورس

أُجرِيت عدّة دراسات قبل أكثر من 2000 عام حول المثلّثات، فنتجت عنها عنها اكتشافات كان لها الأثر الأكبر في علم المثلثات، مثل نظريّة فيثاغورس، التي سُمِّيت بهذا الاسم نسبةً إلى عالم الرياضيات المشهور فيثاغورس، والتي تنص على أن مربع الوتر في المثلث قائم الزاوية يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين، ويُعبَّر عنها بالقانون الآتي:^[٣]

• (طول الوتر)²=(طول الضلع الأول)² ( طول الضلع الثاني)².

أمثلة على نظرية فيثاغورس

• المثال الأول: المثلّث أ ب ج قائم الزاوية في ب، فيه طول الضلع ب ج يساوي 12سم، وطول الضلع أب يساوي 5سم، جد طول الضّلع أج.^[٣]
  • الحلّ:
  • بما أنّ المثلّث قائم الزاوية عند ب، فإن الضلع المقابل للزاوية ب هو أج وهو الوتر، ولحساب طول هذا الضّلع يجب اتباع الخطوات الآتية:
    • وفق نظرية فيثاغورس: (طول الوتر)²=(طول الضلع الأول)² ( طول الضلع الثاني)²، وبتعوّض قِيم الضلعين الأول والثاني يمكن حساب الوتر كما يلي:
    • (طول الوتر)²=(5)² (12)²=25 144=169، وبأخذ الجذر التربيعيّ للطّرفين، ينتج أن: طول الوتر=13سم.

• المثال الثاني: مثلّث قائم الزاوية، فيه طول الضلع الأول يساوي 9سم، وطول الوتر يساوي 15سم، جد طول الضلع المجهول.^[٣]
  • الحلّ:
  • وفق نظرية فيثاغورس: (طول الوتر)²=(طول الضلع الأول)² ( طول الضلع الثاني)²، وبتعوّض قِيم الوتر والضلع الأول يمكن حساب طول الضلع الثاني كما يلي:
    • (15)²=(9)² (طول الضلع الثاني)²، 225=81 (طول الضلع الثاني)²، وبطرح 81 من الطرفين، ينتج أن: 144=(طول الضلع الثاني)²، وبأخذ الجذر التربيعيّ للطرفين، تكون النتيجة: طول الضلع الثاني=12سم.

لمزيد من المعلومات حول نظرية فيثاغورس يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون نظرية فيثاغورس.

قانون محيط المثلّث قائم الزاوية

يمكن تعريف المحيط بأنه عبارة عن المسافة التي تُحيط بالمثلّث من الخارج، وهو يساوي مجموع أطوال أضلاعه الثلاث، ولحساب المحيط لمثلث أطوال أضلاعه على التّوالي: 3سم، 4 سم، 5سم، فإننا نحتاج فقط إلى حساب مجموع أطوال هذه الأضلاع للحصول على المحيط وذلك كما يلي: محيط المثلّث=مجموع أطوال أطوال أضلاعه = 3 4 5 = 12سم.^[٤]

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول محيط المثلث قائم الزاوية يمكنك قراءة المقال الآتي: كيفية حساب محيط المثلث القائم.

قانون مساحة المثلّث قائم الزاوية

تُعرَّف المساحة على أنّها المنطقة الموجودة داخل حدود المُضلَّعات ثنائية الأبعاد، وبما أنّ المثلّث من ضمن المُضلَّعات فمساحته تعبّر عن المنطقة التي تقع داخله، أمّا طريقة حساب مساحة المثلّث قائم الزاوية فيمكن حسابها كمساحة باقي المثلّثات باستخدام القانون الآتي:^[٤][٥]

• مساحة المثلث=2/1×طول القاعدة×الارتفاع.

وفيما يلي بعض الأمثلة التي توضّح كيفيّة حساب مساحة المثلّث قائم الزاوية:

• المثال الأول: احسب مساحة مثلّث قائم الزاوية، إذا علمت أنّ طول القاعدة يساوي 4سم، وارتفاعه يساوي 3سم.^[٦]
  • الحلّ: بتعويض كلّ من طول القاعدة والارتفاع في قانون مساحة المثلّث قائم الزاوية ينتج أن:
    • مساحة المثلث=2/1×طول القاعدة×الارتفاع =2/1×4×3 =6سم².

• المثال الثاني: إذا كانت مساحة مثلّث قائم الزاوية 42م²، احسب ارتفاعه إذا علمت أنّ طول قاعدته يساوي 12م.^[٧]
  • الحلّ:
  • مساحة المثلث= 2/1×طول القاعدة×الارتفاع، وبتعويض القيم فيها ينتج أن:
    • 42= 2/1×12×الارتفاع، ومنه الارتفاع=7م.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول مساحة المثلث قائم الزاوية يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون مساحة المثلث قائم الزاوية.

أمثلة متنوعة حول المثلّث قائم الزاوية

• المثال الأول: احسب مساحة المثلث القائم إذا كان ارتفاعه 5سم، وطول وتره 10سم.^[٦]
  • الحلّ:
  • مساحة المثلث= 2/1×طول القاعدة×الارتفاع، ولحساب طول القاعدة يجب الاستعانة بنظرية فيثاغورس، والتي تنص على أن: (طول الوتر)²=(طول الضلع الأول)² (طول الضلع الثاني)²، وعليه:
    • 10² = 5² طول القاعدة² ، وعليه طول القاعدة= 75√ سم.
  • وبتعويض القيم في مساحة المثلث ينتج أن: مساحة المثلث= 2/1×75√×5 = 75√×5/2 = 3√×25/2 سم².

• المثال الثاني: إذا كان طول الوتر في مثلث قائم الزاوية يزيد عن طول أحد الضلعين الآخرين بـ 2سم، أما طول الضلع الآخر فالوتر يقل 2سم عن ضعفي طوله، جد طول أضلاع هذا المثلث.^[٨]
  • الحلّ:
  • نفترض أن طول الوتر هو (جـ)، وأن طول الضلع الأول (أ) هو: جـ= أ 2، ومنه: أ= جـ-2، أما طول الضلع الثاني فهو (ب): جـ= 2ب-2، ومنه ب= (جـ 2)/2.
  • وفق نظرية فيثاغورس: (طول الوتر)²=(طول الضلع الأول)² ( طول الضلع الثاني)²، وعليه:
    • (جـ)²=(جـ-2)² ( (جـ 2)/2)²، ومنه: جـ²= (جـ²-4جـ 4) (جـ² 4جـ 4)/4، وبضرب جميع أطراف المعادلة بـ (4)، 4جـ² = 4جـ²-16‬جـ 16 جـ² 4جـ 4، وبتبسيط المعادلة ينتج أن:
    • جـ²-12جـ 20=0، وبحل المعادلة ينتج أن: جـ= 10سم، أو جـ =2سم، ولأن 2 عند تعويضها في القيمة أ=جـ-2=2-2 = 0، ولا يمكن لأحد الأضلاع أن يكون طوله صفر، وعليه إن طول الوتر هو 10سم.
  • حساب طول الضلع الأول (أ) = جـ-2 = 10-2 8سم.
  • حساب طول الضلع الثاني (ب) = (جـ 2)/2 = (10 2)/2 = 6سم.
  • وعليه أطوال أضلاع هذا المثلث هي: 6سم، 8سم، 10سم.

• المثال الثالث: احسب محيط المثلث القائم إذا كان طول وتره 8م، وقياس الزاوية المحصورة بين الوتر والقاعدة 45 درجة.^[٩]
  • الحلّ:
  • بما أن قياس الزاوية المحصورة بين الوتر والقاعدة هو 45 درجة، إذاً قياس الزاوية المحصورة بين الارتفاع والوتر هو 45 درجة أيضاً؛ لأن 180-90-45=45 درجة، وعليه فإن هذا المثلث متساوي الساقين وقائم الزاوية، لأن قياس زاويتي القاعدة متساوٍ فيه، وعليه طول الضلع الأول=طول الضلع الثاني=أ.
  • وفق نظرية فيثاغورس: (طول الوتر)²=(طول الضلع الأول)² ( طول الضلع الثاني)²، وعليه: 8²=2×أ²، ومنه أ= 32√سم.
  • حساب المحيط وهو مجموع أطوال أضلاع المثلث = 8 2×32√ = 8 32√2 سم.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول المثلثات يمكنك قراءة المقالات الآتية: بحث رياضيات عن المثلثات، قانون محيط المثلث، كيف أحسب مساحة المثلث.

المراجع

1. ↑ "Right-Angled Triangles", www.mathsisfun.com, Retrieved 27-12-2017. Edited.
2. ↑ "Pythagoras' Theorem", www.mathsisfun.com, Retrieved 27-12-2017. Edited.
3. ^ ^{أ ب ت} "Pythagoras' Theorem", www.mathsisfun.com, Retrieved 6-12-2017. Edited.
4. ^ ^{أ ب} "Triangles", www.mathsisfun.com, Retrieved 22-4-2020. Edited.
5. ↑ "Area: Definition & Counting Method", www.study.com, Retrieved 17-12-2017. Edited.
6. ^ ^{أ ب} "How to find the area of a right triangle", www.varsitytutors.com, Retrieved 22-4-2020. Edited.
7. ↑ "Triangles", www.mathopolis.com, Retrieved 22-4-2020. Edited.
8. ↑ "Right Triangle Relationships", www.brainfuse.com, Retrieved 22-4-2020. Edited.
9. ↑ "How to find the perimeter of a right triangle", www.varsitytutors.com, Retrieved 22-4-2020. Edited.